三棱锥P-ABC中△PAC是边长为4的等边三角形,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,平面PAC⊥面ABC,D、

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/29 06:17:42

三棱锥P-ABC中△PAC是边长为4的等边三角形,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,平面PAC⊥面ABC,D、E分

（1）求证AC⊥PD；
（2）求二面角E-AC-B的正切值．
（3）求三棱锥P-CDE与三棱锥P-ABC的体积之比．

（1）
取AC中点为M,连接PM,DM
∵D是AB中点
∴DM//BC
∵BC⊥AC
∴AC⊥DM
∵ΔPAC是等边三角形,M是AC中点
∴AC⊥PM,
又PM∩DM=M
∴AC⊥平面PDM
∵PD在平面PDM内
∴AC⊥PD
(2)
∵平面PAC⊥平面ABC,交线为AC
PM⊥AC
∴PM⊥平面ABC
以M为原点,分别以MA,MD,MP为x,y,z轴
建立直角坐标系M-xyz
∵AC=BC=4,
∴MD=2,MP=2√3
那么,A(2,0,0),C(-2,0,0),B(-2,4,0),P(0,0,2√3)
E(-1,2,√3),CE=(1,2,√3)
设平面EAC的一个法向量为m=(x,y,z)
∴m●CE=x+2y+√3z=0
m●CA=4x=0
取x=0,y=√3,z=-2
∴m=(0,√3,-2)
又平面ABC的一个法向量为MP=(0,0,2√3)
∴cos
=m●MP/(|m||MP|)=-4√3/(√7*2√3)=-2√7/7
设二面角E-AC-B的大小为α,则α是锐角
∴cosα=2√7/7
∴sinα=√21/7
∴tanα=tanα/cosα=√3/2
即二面角E-AC-B的正切值为√3/2
（3）
由（1）知DM//BC,
DM不在平面PBC内
BC在平面PBC呢日
∴DM//平面PBC
那么
VP-CDE
=VD-PCE
=VM-PCE
=VE-PCM
=1/2VE-PAC
=1/4*VB-PAC
=1/4*VP-ABC
∴三棱锥P-CDE与三棱锥P-ABC的体积之比为1/4

三棱锥P-ABC中△PAC是边长为4的等边三角形,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,平面PAC⊥面ABC,D、在三棱锥P-ABC中,△PAC和△PBC是边长为√2的等边三角形,AB=2,O,D分别是AB,PB的中点三棱锥P-ABC中,PA⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC,问:△ABC是否为直角三角形如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°．已知△ABC中,∠ABC=90°,P为△ABC所在平面外一点,PA=PB=PC,求证：平面PAC⊥平面ABC. （2012•莆田模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，△PAC，△ABC分别是以A、B为直角顶点的等腰直角三角形，AB=1．三棱锥P-ABC中底面ABC为直角三角形AB＝BC,PA＝2AB,PA垂直面ABC,求BC垂直PB,PB与平面PAC角的三棱锥P-ABC中,侧面PAC⊥底面ABC,PA=BC=1,PC=AB=2,∠APC=60°,D为AC中点. 三棱锥P-ABC中，平面PBC⊥平面ABC，△PBC是边长为a的正三角形，∠ACB=90°，∠BAC=30°，M是BC的三棱锥P-ABC中,三角形PAB是等边三角形,角PAC=角PBC=90度求证AB⊥PC 已知△ABC中,∠ABC=90°,P为△ABC所在平面外一点,且PA=PB=PC,求证：平面PAC⊥平面ABC. 在△ABC中,∠ABC=90°,P为△ABC所在平面外一点,且PA=PB=PC,求证：平面PAC⊥平面ABC