已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（实数a，b，c为常数）的图象过原点，且在x=1处的切线为直线y＝−12．

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 22:19:55

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c（实数a，b，c为常数）的图象过原点，且在x=1处的切线为直线y＝−

（1）∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的图象过原点，
∴f（0）=c=0，
求导函数可得：f′（x）=3x²+2ax+b，
∵在x=1处的切线为直线y＝−
1
2．
∴f（1）=1+a+b=-
1
2，f′（1）=3+2a+b=0，
∴a=-
3
2，b=0，
∴f（x）=x³-
3
2x²，
（2）f（x）=x³-
3
2x²，f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
∴函数在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增；在（0，1）上单调递减，
∴函数在x=0处取得极大值0，
令f（x）=x³-
3
2x²=0，可得x=0或x=
3
2，
∴0＜m＜
3
2时，f（m）＜0，函数在x=0处取得最大值0；
m≥
3
2时，f（m）≥0，函数在x=m处取得最大值m3−
3
2m2．