搜搜做题作业网已知函数f(x)是定义在实数集R上的偶函数,且对任意实数x都有f(x+1)=2f(x)+1,则f(2012）的值是
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 05:44:08
已知函数f(x)是定义在实数集R上的偶函数,且对任意实数x都有f(x+1)=2f(x)+1,则f(2012）的值是
∵函数f（x）是定义在实数集R上的偶函数,∴f（-x）=f（x）．
再由f（x+1）=2f（x）+1 可得 f（1-x）=2f（-x）+1=2f（x）+1,
∴f（1-x）=f（1+x）,
∴f（x+2）=f（x）,即函数f（x）是周期为2的周期函数．
故 f（2012）=f（0）．
由已知条件f（x+1）=2f（x）+1 可得
①f(1)=2f(0)+1;②f(0)=2f(1)+1
解得 f（0）=-1
故f(2012)=f(0)=-1
再问： f（0）=-1是如何得出的？
再答： 就是解方程呀，解标号为①②的两个二元一次方程组就行了
再问： 怎么解啊？
再答： 嗯，这很好解得！ 因为f(1)=2f(0)+1--方程①，所以将f（1）代入到方程②中： 就有：f(0)=2*[2f(0)+1]+1 所以打开后：f(0)=4f(0)+3 移项得到-3f(0)=3 所以得到f（0）=-1 就是这个样子
再由f（x+1）=2f（x）+1 可得 f（1-x）=2f（-x）+1=2f（x）+1,
∴f（1-x）=f（1+x）,
∴f（x+2）=f（x）,即函数f（x）是周期为2的周期函数．
故 f（2012）=f（0）．
由已知条件f（x+1）=2f（x）+1 可得
①f(1)=2f(0)+1;②f(0)=2f(1)+1
解得 f（0）=-1
故f(2012)=f(0)=-1
再问： f（0）=-1是如何得出的？
再答： 就是解方程呀，解标号为①②的两个二元一次方程组就行了
再问： 怎么解啊？
再答： 嗯，这很好解得！ 因为f(1)=2f(0)+1--方程①，所以将f（1）代入到方程②中： 就有：f(0)=2*[2f(0)+1]+1 所以打开后：f(0)=4f(0)+3 移项得到-3f(0)=3 所以得到f（0）=-1 就是这个样子
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