微积分题求极限基本思路是求yn单调有界主要要证明yn的极限存在啊！

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 19:26:12

微积分题求极限
基本思路是求yn单调有界
主要要证明yn的极限存在啊！

1楼,3楼都错了,此函数不单调!2楼在胡扯.
以下是对函数有极限的证明
假设x是一个正数,x>0 满足 x = (1-x^2)/a (其实就是那个极限,但在没证出来之前还不能乱说）那么,ax = 1- x^2
y_n+2 = (1-(y_n+1)^2)/a = (1-(1-(y_n)^2)/a)/a = 1/a - (1-(y_n)^2)^2/a^3
设 b_n = y_(2n-1) 奇数项 c_n = y_2n 偶数项
则试证：b_n > x,c_n < x
数学归纳法：
b_1 = y_1 = 1/a > 1/a - x^2/a = x
若b_n > x,b_n+1 = 1/a - (1-(b_n)^2)^2/a^3
因为0< b_n x,0 < 1-(b_n)^2 < 1-x^2 = ax
所以b_n+1 = 1/a - (1-(b_n)^2)^2/a^3 > 1/a - (ax)^2/a^3 = (1-x^2)/a = x
归纳成立,得证.
c_n 亦然,只是把 > 换成 < 而已.
这样y_n 就是一个奇数项大于x,偶数项 c_n
也是用数学归纳法,b_1 < b_2
如果b_n < b_n-1 试证：b_n+1 < b_n
这个证明很显然.
因为b_n = 1/a - (1-(b_n-1)^2)^2/a^3
所以b_n-1 = √(1-a√(1-ab_n)) > b_n
所以 b_n < 1/a (1- (1-(b_n)^2)^2/a^2) = b_n+1
得证,c_n 亦然,只是把 < 换成 > 而已.
这样就分别证明了b_n,c_n 单调有界,他们分别都存在极限,然后以求得b_n 的极限通过 lim b_n+1 = lim b_n
解方程可知 b_n 的极限就是x,c_n 极限也是x,
就能证明 x 就是 y_n 的极限
x= (√(a^2+4) -a) /2

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