（2012•黄浦区一模）已知函数f（x）=2sin2x+23sinxcosx−1(x∈R)．

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/04 18:00:01

（2012•黄浦区一模）已知函数f（x）=2sin

（1）∵f（x）=2sin2x+2
3sinxcosx−1=
3sin2x-cos2x，
∴f（x）=2sin（2x-
π
6）（x∈R）．
∴函数f（x）的图象可由y=sinx的图象按如下方式变换得到：
①将函数y=sinx的图象向右平移
π
6个单位，得到函数y=sin（x-
π
6）的图象；
②将函数y=sin（2x-
π
6）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x-
π
6）的图象；
③将函数y=sin（2x-
π
6）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=2sin（2x-
π
6）的图象．
（2）由（1）知，f（x）=sin（2x-
π
6），
∴g（x）=
1
2|f(x+
π
12)| +
1
2|f(x+
π
3)|=|sin2x|+|cos2x|．
又对任意x∈R，g（-x）=g（x），∴函数g（x）是偶函数．
∵g（x+
π
4）=|cos2x|+|sin2x|=g（x），
∴g（x）是周期函数，T=
π
4是它的一个周期．
现用反证法证明T=
π
4是函数g（x）的最小正周期．
反证法：假设T=
π
4不是函数g（x）的最小正周期，设T₁（0＜T₁＜
π
4）是g（x）的最小正周期．
则g（x+T₁）=g（x），即|cos（2x+2T₁）|+|sin（2x+2T₁）|=|sin2x|+|cos2x|．
令x=0，得sin2T₁+cos2T₁=1，两边平方后化简，得sin2T₁×cos2T₁=0，这与sin2T₁≠0且cos2T₁≠0，矛盾．因此，假设不成立．
所以，函数g（x）的最小正周期是
π
4．
（3）先求函数g（x）在一个周期[0，

（2012•黄浦区一模）已知函数f（x）=2sin2x+23sinxcosx−1(x∈R)．（2011•顺义区一模）已知函数f(x)＝2sinxcosx+23sin2x−3，（x∈R）．（2012•甘肃一模）（文科）已知函数f(x)＝3sin2x+23sinxcosx+cos2x，x∈R．（2012•武清区一模）已知函数f（x）=73sinxcosx+7sin2x-52，x∈R．（2014•马鞍山一模）已知函数f(x)＝23sinxcosx−3sin2x−cos2x+2．（2011•淮南一模）已知函数f(x)＝cos2x−sin2x+23sinxcosx+1．（2014•延庆县一模）已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x．（2014•海淀区二模）已知函数f（x）=23sinxcosx-2sin2x+a，a∈R．（2013•资阳模拟）已知函数f(x)＝2sin(x−π3)cosx+sinxcosx+3sin2x（x∈R）．已知函数=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,∈r求（1）f(x)的最大值时自变量x的集合,（2）函数f(x) （2009•成都模拟）已知函数f（x）=3sinxcosx-sin2x+12，x∈R，（2013•天津模拟）已知函数f（x）=sin2x+23sinxcosx+3cos2x，x∈R．求：