搜搜做题作业网《线性代数》中关于矩阵的一题目：
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/03 14:32:14
《线性代数》中关于矩阵的一题目：
设A是n阶矩阵,P是n阶可逆矩阵,已知n维列向量a是矩阵P-1（P的负1次方）AP的属于特征值λ的特征向量,则矩阵A属于特征值λ的特征向量是______?
设A是n阶矩阵,P是n阶可逆矩阵,已知n维列向量a是矩阵P-1（P的负1次方）AP的属于特征值λ的特征向量,则矩阵A属于特征值λ的特征向量是______?
根据特征值与特征向量的定义
因为 n维列向量a是矩阵P^(-1)AP的属于特征值λ的特征向量
所以 P^(-1)AP*a=λ*a
两边同时左乘P,得 AP*a=P*λ*a
因为 λ为实数
所以 AP*a=P*λ*a=λ*P*a
即 A*(Pa)=λ*(Pa)
所以 矩阵A属于特征值λ的特征向量为向量Pa
再问： 两边乘P 把左边的 P^(-1)消了 可以直接当成是数消去吗？矩阵也可以这么消？ 还是说矩阵P * 矩阵P^(-1)=E=1
再答： P与P^(-1)不能直接抵消，而是P*P^(-1)=E，然后E左乘A=A，所以看上去像是抵消，但实际上是一个n*n的单位矩阵
因为 n维列向量a是矩阵P^(-1)AP的属于特征值λ的特征向量
所以 P^(-1)AP*a=λ*a
两边同时左乘P,得 AP*a=P*λ*a
因为 λ为实数
所以 AP*a=P*λ*a=λ*P*a
即 A*(Pa)=λ*(Pa)
所以 矩阵A属于特征值λ的特征向量为向量Pa
再问： 两边乘P 把左边的 P^(-1)消了 可以直接当成是数消去吗？矩阵也可以这么消？ 还是说矩阵P * 矩阵P^(-1)=E=1
再答： P与P^(-1)不能直接抵消，而是P*P^(-1)=E，然后E左乘A=A，所以看上去像是抵消，但实际上是一个n*n的单位矩阵