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已知函数f(x)＝−x3+x2，x＜1alnx     x≥1.

来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/28 00:58:37
已知函数f(x)＝
−x
已知函数f(x)＝−x3+x2，x＜1alnx     x≥1.
（Ⅰ）当x＜1时，f（x）=-x3+x2，f'（x）=-3x2+2x
令f′（x）=0得x=0或x=
2
3
当x＜0时，f′（x）＜0，当0＜x＜
2
3时，f′（x）＞0，当x＞
2
3时，f′（x）＜0
当x=0时，f（x）取得极小值f（0）=0
当x=
2
3时，f（x）取得极大值f（
2
3）=
4
27
（Ⅱ）①由（1）知当-1≤x≤1时，f（x）在x=
2
3处取得极大值f(
2
3)＝
4
27．
又f（-1）=2，f（1）=0，所以f（x）在[-1，1）上的最大值为2．（4分）
②当1≤x≤e时，f（x）=alnx，当a≤0时，f（x）≤0；当a＞0时，
f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）在[1，e]上的最大值为a．
所以当a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a；
当a＜2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2．（8分）
（Ⅲ）假设曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
则P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t3+t2），且t≠1．
因为△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，所以

OP•

OQ=0，
即：-t2+f（t）•（t3+t2）=0（1）…（10分）
是否存在点P，Q等价于方程（1）是否有解．
若0＜t＜1，则f（t）=-t3+t2，代入方程（1）得：t4-t2+1=0，此方程无实数解．
若t≥1，则f（t）=alnt，代入方程（1）得到：
1
a=（t+1）lnt，（12分）
设h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则h'（x）=lnx+
1
x+1＞0在[1，+∞）上恒成立．
所以h（x）在[1，+∞）上单调递增，从而h（x）≥h（1）=0，
所以当a＞0时，方程
1
a=（t+1）lnt有解，即方程（1）有解．
所以，对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P，Q，
使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．（14分）
已知函数f(x)＝−x3+x2，x＜1alnx     x≥1. 已知函数f(x)＝−x3+x2+bx+c，x＜1alnx，     & （2011•浙江模拟）已知函数f(x)＝−x3+x2，x＜1alnx，    & 已知函数 f(x)＝alnx−(a+1)x+12x2(a≥0)． （2013•丰台区二模）已知函数 f(x)＝alnx−(a+1)x+12x2(a≥0)． 设f（x）=x2    x∈[0，1]2−x    已知函数f(x)＝x−1x+2 ， x∈[3，5]， 已知函数f（x）满足f(x)＝x3+f ′(23)x2−x+C（其中f ′(23)为f（x）在点x＝ 已知函数f(x)＝sin2x(sinx+cosx)    cosx． 已知函数f（x）={x^2 x>0      &nbs （2011•海珠区一模）已知函数f(x)＝13x3+mx2 (x≤0)ex−1 (x＞0). （2012•青岛二模）已知函数f(x)＝log2x ， x＞03−x+1 ， x