设实对称矩阵A的特征值全大于a,实对称矩阵B的特征值全大于b,证明A+B的特征值全大于a+b.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/06/23 08:32:24
设实对称矩阵A的特征值全大于a,实对称矩阵B的特征值全大于b,证明A+B的特征值全大于a+b.
![设实对称矩阵A的特征值全大于a,实对称矩阵B的特征值全大于b,证明A+B的特征值全大于a+b.](/uploads/image/z/468089-17-9.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%AE%9E%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E7%9F%A9%E9%98%B5A%E7%9A%84%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC%E5%85%A8%E5%A4%A7%E4%BA%8Ea%EF%BC%8C%E5%AE%9E%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E7%9F%A9%E9%98%B5B%E7%9A%84%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC%E5%85%A8%E5%A4%A7%E4%BA%8Eb%EF%BC%8C%E8%AF%81%E6%98%8EA%2BB%E7%9A%84%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC%E5%85%A8%E5%A4%A7%E4%BA%8Ea%2Bb%EF%BC%8E)
解.
因为:实对称矩阵A的特征值全大于a,
所以:A-aE为正定阵;
同理:A-bE为正定阵.
从而:(A-aE)+(A-bE)为正定阵.
假设λ为A+B的任一特征值,相应的特征向量为x,
即 (A+B)x=λx,
于是:
[(A-aE)+(B-bE)]x=(A+B)x-(a+b)Ex=(λ-(a+b))x,
所以:λ-(a+b)为(A-aE)+(A-bE)的特征值,
又因为:(A-aE)+(A-bE)为正定阵,
所以:λ-(a+b)>0,
即 λ>a+b,证毕.
因为:实对称矩阵A的特征值全大于a,
所以:A-aE为正定阵;
同理:A-bE为正定阵.
从而:(A-aE)+(A-bE)为正定阵.
假设λ为A+B的任一特征值,相应的特征向量为x,
即 (A+B)x=λx,
于是:
[(A-aE)+(B-bE)]x=(A+B)x-(a+b)Ex=(λ-(a+b))x,
所以:λ-(a+b)为(A-aE)+(A-bE)的特征值,
又因为:(A-aE)+(A-bE)为正定阵,
所以:λ-(a+b)>0,
即 λ>a+b,证毕.
设实对称矩阵A的特征值全大于a,实对称矩阵B的特征值全大于b,证明A+B的特征值全大于a+b.
设A是n阶正定矩阵,AB是n阶实对称矩阵,证明AB正定的充要条件是B的特征值全大于零
请问实对称矩阵A的特征值全部大于a,实对称矩阵B的特征值全部大于b,证明A+B的特征值大于a+b.怎么证明
证明 如果一个实对称矩阵A的特征值皆大于0,那么它是正定的
A为n阶实对称矩阵,B为半正定矩阵,求证AB特征值全为实数
设A是n阶实对称矩阵,证明A是正定矩阵的充分必要条件是A的特征值都大于0
设A,B是n阶实矩阵,A的特征值互逆,证明矩阵AB=BA的充要条件为A的特征值都是B的特征值
证明:若A是正定矩阵(A一定是对称矩阵)的充要条件是所有特征值大于0
设A,B是nxn实对称矩阵,A正定.请证明:若B也正定,则AB的特征值全是正的.
A,B为正定矩阵,证:AB的特征值全部大于零.
设A是n阶实对称矩阵,证明:(1)A的特征值全是实数;(2)若A为正定矩阵,则A^2也是正定矩阵
怎么证明对称矩阵的所有特征值全是实数