如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,连接OA,抛物线y=x^2从点O沿OA方向

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/30 03:12:01

如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,连接OA,抛物线y=x^2从点O沿OA方向平移,与直线x=2交于P,顶点M到A点时停止移动.
（1）设抛物线顶点M的横坐标为m
①用m的代数式表示点P的坐标 ②当m为何值时,线段PB最短
（2）当线段PB最短时,相应的抛物线上是否存在点Q,使△QMA的面积与△PMA的面积相等,若存在,请求出点Q的坐标

24．（本题14分）
（1）设所在直线的函数解析式为 ,
∵ （2,4）,
∴ ,,
∴ 所在直线的函数解析式为 .…………………………………（3分）
（2）①∵顶点M的横坐标为 ,且在线段上移动,
∴ （0≤ ≤2）.
∴顶点的坐标为( ,).
∴抛物线函数解析式为 .
∴当时,（0≤ ≤2）.
∴点的坐标是（2,）.…………………………………（3分）
② ∵ = = ,又∵0≤ ≤2,
∴当时,PB最短.……………………………………………（3分）
（3）当线段最短时,此时抛物线的解析式为 .……………（1分）
假设在抛物线上存在点 ,使 .
设点的坐标为（ ,）.
①当点落在直线的下方时,过作直线 // ,交轴于点 ,
∵ ,,
∴ ,∴ ,∴ 点的坐标是（0,）.
∵点的坐标是（2,3）,∴直线的函数解析式为 .
∵ ,∴点落在直线上.
∴ = .
解得 ,即点（2,3）.
∴点与点重合.
∴此时抛物线上不存在点 ,使△ 与△ 的面积
相等.……………………………………………………………………（2分）
②当点落在直线的上方时,
作点关于点的对称称点 ,过作直线 // ,交轴于点 ,
∵ ,∴ ,∴ 、的坐标分别是（0,1）,（2,5）,
∴直线函数解析式为 .
∵ ,∴点落在直线上.
∴ = .
解得：,.
代入 ,得 ,.
∴此时抛物线上存在点 ,
使△ 与△ 的面积相等.…………………………………（2分）
综上所述,抛物线上存在点 ,
使△ 与△ 的面积相等.