搜搜做题作业网1加1为什么等于2?我是真的想知道啊,
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/06/23 07:42:54
1加1为什么等于2?我是真的想知道啊,
在证明之前,首先我们要明白什么是自然数,什么是加法.类似于几何的公理化理论体系,我们需要提出几个公理,然后据此定义自然数,进而定义加法.
先来定义自然数.根据自然数的意义（也就是人类平时数数时对自然数的运用方法）,它应该是从一个数开始,一直往上数,而且想数几个就可以数几个（也就是自然数有无限个）.据此我们得到以下公理：
公理 1.0 是一个自然数.
公理 2.如果 n 是自然数,则 S(n) 也是自然数.
在这里,S(n) 就代表 n 的“后继”,也就是 n 往上再数一个.没错,我们平时所说的 0,1,2,3,⋯⋯,无非就是表示上述这种叫做“自然数”的数学对象的符号而已.我们用符号“0”来表示最初的那个自然数,用“1”来表示 0 的后继 S(0),而 1 的后继 S(1) 则用符号“2”来表示,等等.
可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数,因为满足这两条的有可能不是自然数系统.比如考虑由 0,1,2,3 构成的数字系统,其中 S(3) = 0（即 3 的后一个数变回 0）.这不符合我们对于自然数系统的期望,因为它只包含有限个数.因此,我们要对自然数结构再做一下限制：
公理 3.0 不是任何一个数的后继.
但这里面的漏洞防不胜防,此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0,1,2,3,其中 S(3) = 3.看来,我们设置的公理还不够严密.我们还得再加一条：
公理 4.若 n 与 m 均为自然数且 n ≠ m,则 S(n) ≠ S(m).
也就是说,互不相同的两个自然数,它们各自的后继也是两个不同的数.这样一来,上面说到的反例就可以排除了,因为 3 不可能既是 2 的后继,也是 3 的后继.
最后,为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.5）,同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要,我们加上最后一条公理.
公理 5.（数学归纳法）设 P(n) 为关于自然数 n 的一个性质.如果 P(0) 正确,
且假设 P(n) 正确,则 P(S(n)) 亦真实.那么 P(n) 对一切自然数 n 都正确.
有了这以上的努力,我们就可以这样定义自然数系了：存在一个自然数系 N,称其元素为自然数,当且仅当这些元素满足公理 1 - 5.
什么是加法?
我们定义,加法是满足以下两种规则的运算：
1.对于任意自然数 m,0 + m = m；
2.对于任意自然数 m 和 n,S(n) + m = S(n + m).
有了这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义,任意两个自然数相加的结果都能确定出来了.
如何证明一加一等于二?
至此,我们可以证明 1 + 1 = 2 了：
1 + 1
= S(0) + 1 （根据自然数的公理）
= S(0 + 1) （根据加法定义 2）
= S(1) （根据加法定义 1）
= 2 （根据自然数的公理）
事实上,根据加法的定义,我们不但可以证明每一个加法等式,还可以进一步证明自然数的加法结合律和交换率等一般规律.类似于加法的定义,还可以定义自然数的乘法并据此证明乘法的结合律、交换率和分配率等.☆予人玫瑰之手,经久犹有余香,请点击好评☆
先来定义自然数.根据自然数的意义（也就是人类平时数数时对自然数的运用方法）,它应该是从一个数开始,一直往上数,而且想数几个就可以数几个（也就是自然数有无限个）.据此我们得到以下公理：
公理 1.0 是一个自然数.
公理 2.如果 n 是自然数,则 S(n) 也是自然数.
在这里,S(n) 就代表 n 的“后继”,也就是 n 往上再数一个.没错,我们平时所说的 0,1,2,3,⋯⋯,无非就是表示上述这种叫做“自然数”的数学对象的符号而已.我们用符号“0”来表示最初的那个自然数,用“1”来表示 0 的后继 S(0),而 1 的后继 S(1) 则用符号“2”来表示,等等.
可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数,因为满足这两条的有可能不是自然数系统.比如考虑由 0,1,2,3 构成的数字系统,其中 S(3) = 0（即 3 的后一个数变回 0）.这不符合我们对于自然数系统的期望,因为它只包含有限个数.因此,我们要对自然数结构再做一下限制：
公理 3.0 不是任何一个数的后继.
但这里面的漏洞防不胜防,此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0,1,2,3,其中 S(3) = 3.看来,我们设置的公理还不够严密.我们还得再加一条：
公理 4.若 n 与 m 均为自然数且 n ≠ m,则 S(n) ≠ S(m).
也就是说,互不相同的两个自然数,它们各自的后继也是两个不同的数.这样一来,上面说到的反例就可以排除了,因为 3 不可能既是 2 的后继,也是 3 的后继.
最后,为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.5）,同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要,我们加上最后一条公理.
公理 5.（数学归纳法）设 P(n) 为关于自然数 n 的一个性质.如果 P(0) 正确,
且假设 P(n) 正确,则 P(S(n)) 亦真实.那么 P(n) 对一切自然数 n 都正确.
有了这以上的努力,我们就可以这样定义自然数系了：存在一个自然数系 N,称其元素为自然数,当且仅当这些元素满足公理 1 - 5.
什么是加法?
我们定义,加法是满足以下两种规则的运算：
1.对于任意自然数 m,0 + m = m；
2.对于任意自然数 m 和 n,S(n) + m = S(n + m).
有了这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义,任意两个自然数相加的结果都能确定出来了.
如何证明一加一等于二?
至此,我们可以证明 1 + 1 = 2 了：
1 + 1
= S(0) + 1 （根据自然数的公理）
= S(0 + 1) （根据加法定义 2）
= S(1) （根据加法定义 1）
= 2 （根据自然数的公理）
事实上,根据加法的定义,我们不但可以证明每一个加法等式,还可以进一步证明自然数的加法结合律和交换率等一般规律.类似于加法的定义,还可以定义自然数的乘法并据此证明乘法的结合律、交换率和分配率等.☆予人玫瑰之手,经久犹有余香,请点击好评☆