对定义域属于R的函数f(x),有f(a,b)=af(b)+bf(a),且f(x)的绝对值小于等于1.求证：f(x)恒等于

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/02 07:48:13

对定义域属于R的函数f(x),有f(a,b)=af(b)+bf(a),且f(x)的绝对值小于等于1.求证：f(x)恒等于零
这是一道自主招生的题目.

令a=b=0,则f(0)=0,对于任意非零实数x0,令b=x0,
则f(ax0)=af(x0)+x0f(a),
当a≠0时,f(x0)/x0=f(ax0)/ax0-f(a)/a,
因为lim(a→∞)(1/a)=0,│f(a)│≤1,
所以lim(a→∞)(f(a)/a)=0,
因为lim(a→∞)(1/(ax0))=0,│f(ax0)│≤1,
所以lim(a→∞)(f(ax0)/(ax0))=0,
因此,对f(x0)/x0=f(ax0)/ax0-f(a)/a两边同取极限,得,
lim(a→∞)(f(x0)/x0)=lim(a→∞)(f(ax0)/(ax0))-lim(a→∞)(f(a)/a)=0
但f(x0)/x0是常数,
故f(x0)/x0是常数,故f(x0)/x0=0
即f(x0)=0.
综上,f(x0)=0
(2006年清华自主招生题)

对定义域属于R的函数f(x),有f(a,b)=af(b)+bf(a),且f(x)的绝对值小于等于1.求证：f(x)恒等于对定义域为R的函数f(x),有f(a+b)=af(b)+bf(a),且f(x）的绝对值小于等于1.求证：f(x)恒等于零已知f（X）是R上的不恒等于0的函数，且对于任意的a，b属于R都有f（ab）=af（b）+bf（a）（1）求f（0）对任意的a,b属于实数,f(ab)=af(b)+bf(a) 且f(x)的绝对值≤1 求证：f(x)恒为0 f(x)是定义在R上恒不为0的函数且对任意a,b属于R有f(a*b)=af(b)+bf(a)求f(0),f(1)并判断f 已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b属于R,都有f(a＋b)=f(a)＋f(b),且当x＞0时,f(x)＜0 已知函数f(x)的定义域为R,且对任意a,b属于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时f(x) 已知函数f(x)的定义域为R,且对任意a,b属于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>o时,f(x) f(x)是R上的函数,对于任意实数a,b,都有f(ab)=af(b)+bf(a),且f(2)=1. 定义域在R上的函数Y=F(X),f(x)≠0,当X＞0时,f(x)＞1,且对任意的a,b属于R,有 F(a+b)=f(a 定义域在R上的函数y=f(x),有f(x)≠0,当x＞0时,f(x)＞1,且对任意的a,b属于R,都有f(a+b)=f( 已知函数f（x）满足：对任意实数a,b有f（ab）=af(b)+bf(a),且绝对值f(x)