数列{F(n)}的递推公式为：F(n+1)F(n-1)=F(n)^2+1,前两项为：F(1)=1,F(2)=2.求通项公

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/26 02:11:59

数列{F(n)}的递推公式为：F(n+1)F(n-1)=F(n)^2+1,前两项为：F(1)=1,F(2)=2.求通项公式.

$数列{F(n)}的递推公式为：F(n+1)F(n-1)=F(n)^2+1,前两项为：F(1)=1,F(2)=2.求通项公$

Fn+1Fn-1=Fn^2+1
Fn+2Fn=Fn+1^2+1两式相减得：
Fn+2Fn-Fn+1Fn-1=Fn+1^2-Fn^2
移项得：Fn+2Fn+Fn^2=Fn+1Fn-1+Fn+1^2
即Fn(Fn+2+Fn)=Fn+1(Fn+1+Fn-1)
则(Fn+2+Fn)/Fn+1=(Fn+1+Fn-1)/Fn
即数列(Fn+2+Fn)/Fn+1为常数列
可得(Fn+2+Fn)/Fn+1=(Fn+1+Fn-1)/Fn=……=(F3+F1)/F2
由F3F1=F2^2+1得F3=5
则(Fn+1+Fn-1)/Fn=(F3+F1)/F2=3
即Fn+1+Fn-1=3Fn
也即Fn+1=3Fn-Fn-1
想必能提出这类问题的同学数学功底应该不差,那么,到这里应该知道这是二次线性递推关系式吧.那么
由这个二次线性递推关系的特征方程为：x^2=3x-1
高这个方程的两个根为x1,x2
则有x1+x2=3,x1x2=1
由此可得Fn+1=(x1+x2)Fn-x1x2Fn-1
得(Fn+1-x1Fn)=x2(Fn-x1Fn-1)
即数列Fn+1-x1Fn为首项为F2-x1Fn-1,公比为x2的等比数列
即Fn-x1Fn-1=(F2-x1F1)(x2)^n-1 (1)
又由Fn+1=(x1+x2)Fn-x1x2Fn-1得：
(Fn+1-x2Fn)=x1(Fn-x1Fn-1)
即数列Fn+1-x2Fn为首项为F2-x2Fn-1,公比为x1的等比数列
即Fn-x2Fn-1=(F2-x2F1)(x1)^n-1 （2）
由(1)*x2-(2)*x1得
x2Fn-x1Fn=(F2-x1F1)(x2)^2-(F2-x2F1)(x1)^2
到这里了,你再只要把方程的两根x1,x2求出来代入即可.
手打得好酸,嘿嘿.

数列{F(n)}的递推公式为：F(n+1)F(n-1)=F(n)^2+1,前两项为：F(1)=1,F(2)=2.求通项公已知递推公式f(n)=(n-1)(n-2)[f(n-2)+f(n-3)+(n-3)*f(n-4)] (n>4)求通项公式求证f(n+1)*f(n-1)-f(n)*f(n) = （-1）^n,f(n)是费波纳茨数列 n为正整数,f(n)为正整数,f(n)为n的增函数.f[f(n)]=2n+1,求证：4/3 设f(x)=2^x/(2^x+根号2),求f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+.+f(n/n)(n为自然数) f(n+1)=2f(n)/f(n)+2,f(1)=1,猜想f(n)的表达式斐波那契数列性质 f(x )为菲波拿且数列证明F（m+n）=f(n-1)*f(m)+f(n)*f(m+1) f(x) 满足 f(n+1) = [2f(n)+n]/2 (n∈N*) 且 f(1) = 2,则 f(20) 为 ___ 设定义在N*上的函数f(n)=n(n为奇数);f(n)=f(n/2)（n为偶数）,an=f(1)+f(2)+f(3)+· f(f(n))=3n,求f(1),f(2),f(3). 已知函数f(n)=n^2（当n为奇数时）或-n^2（当n为偶数时）且an=f(n)+f(n+1),则数列{an}的前n项 f(n)=1-2^(-2n),证明f(1)f(2)f(3).f(n)>1/2.