（2012·凉州）如图在平面直角坐标系中直线Y=x+4与x轴,y轴分别交于A,B两点,抛物线Y=-x^2+bx+c经过A

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/01 11:14:30

（2012·凉州）如图在平面直角坐标系中直线Y=x+4与x轴,y轴分别交于A,B两点,抛物线Y=-x^2+bx+c经过A,b两点,并与x交于另一点c（c点a点的右侧）点p是抛物线上一动点、、

①求抛物线的解析式以及c的坐标.

②若点p在第二象限内,过点p作pd⊥x于点d,交AB与e,当p运动到什么位置时.Pe最长?此时的pe=?

（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,∴A（-4,0）,B（0,4）
抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点,可得
−16−4b+c＝0c＝4,解得b＝−3c＝4,
∴抛物线解析式为y=-x²-3x+4．
令y=0,得-x²-3x+4=0,
解得x₁=-4,x₂=1,∴C（1,0）．

（2）如答图1所示,设D（t,0）．
∵OA=OB,∴∠BAO=45°,
∴E（t,t+4）,P（t,-t²-3t+4）．
PE=y_P-y_E=-t²-3t+4-t-4=-t²-4t=-（t+2）²+4,
∴当t=-2时,线段PE的长度有最大值4,此时P（-2,6）．

（3）存在．
如答图2所示,过N点作NH⊥x轴于点H．
设OH=m（m＞0）,∵OA=OB,∴∠BAO=45°,
∴NH=AH=4-m,∴y_Q=4-m．
又M为OA中点,∴MH=2-m．
△MON为等腰三角形：
①若MN=ON,则H为底边OM的中点,
∴m=1,∴y_Q=4-m=3．
由-x_Q²-3x_Q+4=3,解得x_Q=−3±132,
∴点Q坐标为（−3+132,3）或（−3−132,3）；
②若MN=OM=2,则在Rt△MNH中,
根据勾股定理得：MN²=NH²+MH²,即2²=（4-m）²+（2-m）²,
化简得m²-6m+8=0,解得：m₁=2,m₂=4（不合题意,舍去）
∴y_Q=2,由-x_Q²-3x_Q+4=2,解得x_Q=−3±172,
∴点Q坐标为（−3+172,2）或（−3−172,2）；
③若ON=OM=2,则在Rt△NOH中,
根据勾股定理得：ON²=NH²+OH²,即2²=（4-m）²+m²,
化简得m²-4m+6=0,∵△=-8＜0,
∴此时不存在这样的直线l,使得△MON为等腰三角形．
综上所述,存在这样的直线l,使得△MON为等腰三角形．
所求Q点的坐标为（−3+132,3）或（−3−132,3）或（−3+172,2）或（−3−172,2