已知椭圆的中心在原点,离心率为1/2,一个焦点是F(0,1)
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/17 06:10:40
已知椭圆的中心在原点,离心率为1/2,一个焦点是F(0,1)
1.求椭圆方程(Y型方程)
2.直线l过点F交椭圆于A、B两点,且点F分向量AB的比为2,求直线l的斜率
1.求椭圆方程(Y型方程)
2.直线l过点F交椭圆于A、B两点,且点F分向量AB的比为2,求直线l的斜率
![已知椭圆的中心在原点,离心率为1/2,一个焦点是F(0,1)](/uploads/image/z/3838522-58-2.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%9C%A8%E5%8E%9F%E7%82%B9%2C%E7%A6%BB%E5%BF%83%E7%8E%87%E4%B8%BA1%2F2%2C%E4%B8%80%E4%B8%AA%E7%84%A6%E7%82%B9%E6%98%AFF%280%2C1%29)
(1):由F(1,0)可知,所求椭圆的焦点在y轴上.
∴可设所求椭圆的方程为 y²/a²+x²/b²=1(a>b>0).
由题可知,c=1.
又∵e=1/2
∴有e²=c²/a²=1/a²=1/4
则,a²=4
∴b²=a²-c²=3.
即:所求椭圆方程为 y²/4+x²/3=1.
(2):如图(我发了一张图……)
设A(x1,y1) B(x2,y2).
∵F(0,1)∈AB
∴可设直线AB的方程为 y=kx+1.
可知k≠0 , 又可x1<0,x2>0.
∵向量AF:向量FB=1:2
∴有-2x1=x2 即 2x1+x2=0.
联立{y=kx+1, 4x²+3y²=1. 得,(3k²+4)x²+6kx-9=0.
由求根公式得, x1=[-3k-6√(k²+1)]/(3k²+4)
x2=[-3k+6√(k²+1)]/(3k²+4).
又∵2x1+x2=0
∴有[-6k-12√(k²+1)]/(3k²+4)+ [-3k+6√(k²+1)]/(3k²+4)=0.
化简得,5k²=4
∴k²=4/5.
解得,k=2√5/5 或 -2√5/5
即:所求直线方程为 2√5x-5y+5=0 或
2√5x+5y-5=0.
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/1e/91e657eb497817896b5824aafeb7ac38.jpg)
∴可设所求椭圆的方程为 y²/a²+x²/b²=1(a>b>0).
由题可知,c=1.
又∵e=1/2
∴有e²=c²/a²=1/a²=1/4
则,a²=4
∴b²=a²-c²=3.
即:所求椭圆方程为 y²/4+x²/3=1.
(2):如图(我发了一张图……)
设A(x1,y1) B(x2,y2).
∵F(0,1)∈AB
∴可设直线AB的方程为 y=kx+1.
可知k≠0 , 又可x1<0,x2>0.
∵向量AF:向量FB=1:2
∴有-2x1=x2 即 2x1+x2=0.
联立{y=kx+1, 4x²+3y²=1. 得,(3k²+4)x²+6kx-9=0.
由求根公式得, x1=[-3k-6√(k²+1)]/(3k²+4)
x2=[-3k+6√(k²+1)]/(3k²+4).
又∵2x1+x2=0
∴有[-6k-12√(k²+1)]/(3k²+4)+ [-3k+6√(k²+1)]/(3k²+4)=0.
化简得,5k²=4
∴k²=4/5.
解得,k=2√5/5 或 -2√5/5
即:所求直线方程为 2√5x-5y+5=0 或
2√5x+5y-5=0.
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/1e/91e657eb497817896b5824aafeb7ac38.jpg)
已知椭圆的中心在坐标原点,离心率为1/2,一个焦点是F(0,1).
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