搜搜做题作业网数学分析高手请帮我看一道中值定理的证明题.
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 23:34:42
数学分析高手请帮我看一道中值定理的证明题.
设f在[a,b]上三阶可导,求证存在一点ξ∈(a,b),满足：
又貌似泰勒中值定理的形式,却没有二阶导数项,好奇怪.
见华东师范大学编写的《数学分析》（第二版）上册183页.
设f在[a,b]上三阶可导,求证存在一点ξ∈(a,b),满足：
又貌似泰勒中值定理的形式,却没有二阶导数项,好奇怪.
见华东师范大学编写的《数学分析》（第二版）上册183页.
注意到常数部分相对f’’’(ξ)可以分离,令f’’’(ξ)=k,则
f(b)=f(a)+1/2*(b-a)*[f’(a)+f’(b)]-1/12*(b-a)³*k ①
而①式是关于a,b的轮换对称式,即(a,b)→(b,a)式子不变．因此,考虑用常数k值法解决
基本思想是：将常数部分令为k,将a换成x,构造辅助函数F(x),再用罗尔定理
注：是否使用常数k值法一是看常数部分是否可以分离,二是看换成k后的表达式是否为关于端点的对称式或轮换对称式
令F(x)= f(b)-f(x)-1/2*(b-x)*[f’(x)+f’(b)]+1/12*(b-x)³*k
易见F(a)=F(b)=0
对F(x)在[a,b]上应用罗尔定理,则至少存在一点η∈(a,b),使得F’(η)=0
又F’(x)=-f’(x)+1/2*[f’(x)+f’(b)]-1/2*(b-x)*f’’(x)-1/4*(b-x)²*k
∵F’(b)=0,∴F’(η)= F’(b)
对F’(x)在[η,b]上应用罗尔定理,则至少存在一点ξ∈(η,b)属于 (a,b),使得F’’(ξ)=0
∵F’’(x)=-f’’(x)+1/2* f’’(x) +1/2* f’’(x)-1/2*(b-x)*f’’’(x)+1/2*(b-x)*k
=1/2*(b-x)*[k-f’’’(x)]
∴F’’(ξ)=1/2*(b-ξ)*[k-f’’’(ξ)]=0
∵b-ξ≠0,∴k=f’’’(ξ)
即f(b)=f(a)+1/2*(b-a)*[f’(a)+f’(b)]-1/12*(b-a)³* f’’’(ξ)
f(b)=f(a)+1/2*(b-a)*[f’(a)+f’(b)]-1/12*(b-a)³*k ①
而①式是关于a,b的轮换对称式,即(a,b)→(b,a)式子不变．因此,考虑用常数k值法解决
基本思想是：将常数部分令为k,将a换成x,构造辅助函数F(x),再用罗尔定理
注：是否使用常数k值法一是看常数部分是否可以分离,二是看换成k后的表达式是否为关于端点的对称式或轮换对称式
令F(x)= f(b)-f(x)-1/2*(b-x)*[f’(x)+f’(b)]+1/12*(b-x)³*k
易见F(a)=F(b)=0
对F(x)在[a,b]上应用罗尔定理,则至少存在一点η∈(a,b),使得F’(η)=0
又F’(x)=-f’(x)+1/2*[f’(x)+f’(b)]-1/2*(b-x)*f’’(x)-1/4*(b-x)²*k
∵F’(b)=0,∴F’(η)= F’(b)
对F’(x)在[η,b]上应用罗尔定理,则至少存在一点ξ∈(η,b)属于 (a,b),使得F’’(ξ)=0
∵F’’(x)=-f’’(x)+1/2* f’’(x) +1/2* f’’(x)-1/2*(b-x)*f’’’(x)+1/2*(b-x)*k
=1/2*(b-x)*[k-f’’’(x)]
∴F’’(ξ)=1/2*(b-ξ)*[k-f’’’(ξ)]=0
∵b-ξ≠0,∴k=f’’’(ξ)
即f(b)=f(a)+1/2*(b-a)*[f’(a)+f’(b)]-1/12*(b-a)³* f’’’(ξ)