搜搜做题作业网一道高三有关求导的数学试题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/17 06:56:38
已知函数
. （Ⅰ）求函数
的单调区间； （Ⅱ）若存在两条直线
，
都
是曲线
的切线，求实数
的取值范围； （Ⅲ）若
，求实数的取值范围. 解：（Ⅰ）
. ………………1分 当
时，
，则函数的单调递减区间是
. ………………2分 当
时，令
，得
. 当
变化时，
，的变化情况如下： 
↘ 极小值 ↗ 所以 的单调递减区间是，单调递增区间是. ………………4分 （Ⅱ）因为 存在两条直线，都是曲线的切线， 所以 
至少有两个不等的正实根. ………………5分 令
得
，记其两个实根分别为
. 则 
解得
. ………………7分 当时，曲线在点
处的切线分别为
，
. 令
. 由
得
（不妨设
），且当
时，
，即
在
上是单调函数. 所以 
. 所以 ，是曲线的两条不同的切线. 所以 实数的取值范围为
. ………………9分 （Ⅲ）当时，函数是内的减函数. 因为 
， 而
，不符合题意. ………………11分 当时，由（Ⅰ）知：的最小值是
. （ⅰ）若
，即
时，
， 所以，符合题意. （ⅱ）若
，即
时，
. 所以，符合题意. （ⅲ）若
，即
时，有
. 因为 
，函数在
内是增函数， 所以 当
时
，
. 又因为 函数的定义域为， 所以 . 所以 符合题意. 综上所述，实数
的取值范围为
. ……………… 14分 上面的答案看不懂，主要在第二问的答案中为什么会说所以 至少有两个不等的正实根，另外且当时，，即在上是单调函数.这句话也没看明白，还有最后一个问题如何理解？ 望老师给予详细解答，谢谢！
. （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若存在两条直线，都是曲线的切线，求实数的取值范围； （Ⅲ）若，求实数的取值范围. 解：（Ⅰ）. ………………1分 当时，，则函数的单调递减区间是. ………………2分 当时，令，得. 当变化时，，的变化情况如下： ↘ 极小值 ↗ 所以 的单调递减区间是，单调递增区间是. ………………4分 （Ⅱ）因为 存在两条直线，都是曲线的切线， 所以 至少有两个不等的正实根. ………………5分 令得，记其两个实根分别为. 则 解得. ………………7分 当时，曲线在点处的切线分别为，. 令. 由得（不妨设），且当时，，即在上是单调函数. 所以 . 所以 ，是曲线的两条不同的切线. 所以 实数的取值范围为. ………………9分 （Ⅲ）当时，函数是内的减函数. 因为 ， 而，不符合题意. ………………11分 当时，由（Ⅰ）知：的最小值是. （ⅰ）若，即时，， 所以，符合题意. （ⅱ）若，即时，. 所以，符合题意. （ⅲ）若，即时，有. 因为 ，函数在内是增函数， 所以 当时，. 又因为 函数的定义域为， 所以 . 所以 符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. ……………… 14分 上面的答案看不懂，主要在第二问的答案中为什么会说所以 至少有两个不等的正实根，另外且当时，，即在上是单调函数.这句话也没看明白，还有最后一个问题如何理解？ 望老师给予详细解答，谢谢！
解题思路： 导函数的几何意义，最小值与不等式，函数单调性的综合应用。
解题过程：
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