搜搜做题作业网已知椭圆G：x2/4+y2=1,过点（m,0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 05:46:43
已知椭圆G：x2/4+y2=1,过点（m,0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点
（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率.
（2）将lABl表示为m的函数,并求出lABl的最大值.
（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率.
（2）将lABl表示为m的函数,并求出lABl的最大值.
解（1）椭圆G的焦点坐标为(±√3,0),c=√3,a=2,∴e=c/a=√3/2
(2)设直线AB的方程为y=k(x-m).
由直线AB与圆x²+y²=1相切可知,圆心到直线的距离d=|km|/√k²+1=1
化简得k²m²=k²+1
将直线方程y=k(x-m)代入椭圆方程x²/4+y²=1消y得(4k²+1)x²-8k²mx+4k²m²-4=0
设点A(x1,y1)B(x2,y2),则x1+x2=8k²m/(4k²+1),x1x2=(4k²m²-4)/(4k²+1)
|AB|=√(k²+1)|x1-x2|=√(k²+1）√(x1+x2)²-4x1x2=4√3|m|/(m²+3)
=4√3/(|m|+3/|m|)
≤4√3/(2√3)=2
当且仅当|m|=3/|m|,即|m|=√3,m=±√3时,取等号
当直线AB与X轴垂直,切点为(±1,0）,将x=±1代入椭圆方程求得y=±√3/2
∴此时|AB|=√3＜2
综上,m=±√3,有|AB|最大值2.
(2)设直线AB的方程为y=k(x-m).
由直线AB与圆x²+y²=1相切可知,圆心到直线的距离d=|km|/√k²+1=1
化简得k²m²=k²+1
将直线方程y=k(x-m)代入椭圆方程x²/4+y²=1消y得(4k²+1)x²-8k²mx+4k²m²-4=0
设点A(x1,y1)B(x2,y2),则x1+x2=8k²m/(4k²+1),x1x2=(4k²m²-4)/(4k²+1)
|AB|=√(k²+1)|x1-x2|=√(k²+1）√(x1+x2)²-4x1x2=4√3|m|/(m²+3)
=4√3/(|m|+3/|m|)
≤4√3/(2√3)=2
当且仅当|m|=3/|m|,即|m|=√3,m=±√3时,取等号
当直线AB与X轴垂直,切点为(±1,0）,将x=±1代入椭圆方程求得y=±√3/2
∴此时|AB|=√3＜2
综上,m=±√3,有|AB|最大值2.
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