搜搜做题作业网关于r(AB)的两个结论的证明
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/25 12:44:36
关于r(AB)的两个结论的证明
如图：
A-m×n ,B-m×n 则可以推出关于r(AB)的两个结论
第一个：
r(AB)≤min（r(A),r(B)）
第二个：
如果A可逆,r(AB)=r(B)； r(BA)=r(B)
是怎么证明的呢?
如图：
A-m×n ,B-m×n 则可以推出关于r(AB)的两个结论
第一个：
r(AB)≤min（r(A),r(B)）
第二个：
如果A可逆,r(AB)=r(B)； r(BA)=r(B)
是怎么证明的呢?
设R(Am×n)=k,R(Bn×m)=r,则有初等矩阵P、Q（非奇异矩阵）,使
PA=[Sk×n （左乘是行变换,就是说将矩阵的后面几行变成0）
0 ]
BQ=[Tn×r 0] （右乘是列变换,就是将矩阵的后面几列变成0）
PABQ=[Sk×n [Tn×r 0 ] =(ST)k×r 0
0 ] 0 0
R(AB)=R(PABQ)=R[(ST)k×r 0 =R[(ST)k×r]≤min(k,r)
0 0]
如果A可逆,A就是方阵啊
AB=ABE
因为A、E可逆,那么AB就和B等价
R(AB)=R(B)
BA=EBA
BA和B等价
所以R(BA)=R(B)
PA=[Sk×n （左乘是行变换,就是说将矩阵的后面几行变成0）
0 ]
BQ=[Tn×r 0] （右乘是列变换,就是将矩阵的后面几列变成0）
PABQ=[Sk×n [Tn×r 0 ] =(ST)k×r 0
0 ] 0 0
R(AB)=R(PABQ)=R[(ST)k×r 0 =R[(ST)k×r]≤min(k,r)
0 0]
如果A可逆,A就是方阵啊
AB=ABE
因为A、E可逆,那么AB就和B等价
R(AB)=R(B)
BA=EBA
BA和B等价
所以R(BA)=R(B)
关于r(AB)的两个结论的证明
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