搜搜做题作业网一道导数题,求高手~~
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/03 03:35:34
一道导数题,求高手~~
已知f（x）=ax-lnx,x属于（0,e】,g(x)=lnx/x,其中e是自然数,a属于R.
(1)讨论a=1,f(x)的单调性,极值
（2）求证：在(1)的条件下,f(x)>g(x)+1/2
(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值；若不存在,说明理由.
问（2）,网上的答案都是当成两个函数做的,可x是同一个自变量,万一求出来的f（x）最小值>g（x）最大值怎么办,我想建立函数做,即把式子挪向一侧,可是所建函数的最小值不会求.求大神帮帮我~~
已知f（x）=ax-lnx,x属于（0,e】,g(x)=lnx/x,其中e是自然数,a属于R.
(1)讨论a=1,f(x)的单调性,极值
（2）求证：在(1)的条件下,f(x)>g(x)+1/2
(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值；若不存在,说明理由.
问（2）,网上的答案都是当成两个函数做的,可x是同一个自变量,万一求出来的f（x）最小值>g（x）最大值怎么办,我想建立函数做,即把式子挪向一侧,可是所建函数的最小值不会求.求大神帮帮我~~
前两问比较简单,求导讨论单调性的过程我就省去了.
(1)f(x)在(0,1)递减,(1,e]递增.在(0,e]上有极小值1.
(2)注意到f(x)在(0,e]的最小值为1.
易知g(x)在x=e时取得最大值为1/e,1/e+1/2＜1/2+1/2=1.
故f(x)>g(x)+1/2恒成立.
PS：第(2)问这种题型一般是按你说的合到一起来做,但这题比较特殊不用,因为左边的最小值大于右边的最大值.如果是最小值小于右边最大值,那么就需要合到一起了,那样的话计算量比较大.适当的时候注意下形式可以简化很多运算.
(3)
f’(x)=(ax-1)/x,x∈(0,e].
注意到1/x＞0恒成立,故只需讨论分式上面.
记h(x)=ax-1.
①当a=0时,h(x)=-1＜0恒成立.
②当a＜0时,h(x)＜0恒成立.
③当0＜a≤1/e时,h(x)在(0,e]上小于0恒成立.
④当a＞1/e时,h(x)在(0,1/a)上小于0,(1/a,e]上大于0.
∴a≤1/e时,f(x)在(0,e]上递减；a＞1/e时,f(x)在(0,1/a)上递减,(1/a,e]上递增.
当a≤1/e时,f(x)min=f(e)=ae-1.
令ae-1=3,得a=4/e＞1/e,故此时不存在.
a＞1/e时,f(x)min=f(1/a)=1-ln(1/a)=1+lna.
令1+lna=3,得a=e²＞1/e成立,故此时存在.
综上,当a=e²时,f(x)在(1,e]上的最小值为3.
(1)f(x)在(0,1)递减,(1,e]递增.在(0,e]上有极小值1.
(2)注意到f(x)在(0,e]的最小值为1.
易知g(x)在x=e时取得最大值为1/e,1/e+1/2＜1/2+1/2=1.
故f(x)>g(x)+1/2恒成立.
PS：第(2)问这种题型一般是按你说的合到一起来做,但这题比较特殊不用,因为左边的最小值大于右边的最大值.如果是最小值小于右边最大值,那么就需要合到一起了,那样的话计算量比较大.适当的时候注意下形式可以简化很多运算.
(3)
f’(x)=(ax-1)/x,x∈(0,e].
注意到1/x＞0恒成立,故只需讨论分式上面.
记h(x)=ax-1.
①当a=0时,h(x)=-1＜0恒成立.
②当a＜0时,h(x)＜0恒成立.
③当0＜a≤1/e时,h(x)在(0,e]上小于0恒成立.
④当a＞1/e时,h(x)在(0,1/a)上小于0,(1/a,e]上大于0.
∴a≤1/e时,f(x)在(0,e]上递减；a＞1/e时,f(x)在(0,1/a)上递减,(1/a,e]上递增.
当a≤1/e时,f(x)min=f(e)=ae-1.
令ae-1=3,得a=4/e＞1/e,故此时不存在.
a＞1/e时,f(x)min=f(1/a)=1-ln(1/a)=1+lna.
令1+lna=3,得a=e²＞1/e成立,故此时存在.
综上,当a=e²时,f(x)在(1,e]上的最小值为3.