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如图所示,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a=(

来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/04 07:40:51
如图所示,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a=(  )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
如图所示,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a=(
连接AQ,取AD的中点O,连接OQ.
∵PA⊥平面ABCD,PQ⊥DQ,
由三垂线定理的逆定理可得DQ⊥AQ.
∴点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上,
又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ,∴BC与圆O相切,(否则相交就有两点满足垂直,矛盾.)
∴OQ⊥BC,
∵AD∥BC,∴OQ=AB=1,∴BC=AD=2.
故选B.