设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=f'(0)=0,且使得[xy(1+y)+f'(x)y]dx+[f'(x)+x^2y
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/13 09:35:29
设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=f'(0)=0,且使得[xy(1+y)+f'(x)y]dx+[f'(x)+x^2y]dy=0为全微分方程
求函数f(x)并解该全微分方程
求函数f(x)并解该全微分方程
假如是全微分,那么说明左边是
dz
所以
xy(1+y)+f'(x)y=偏z/偏x (1)
f'(x)+x^2y=偏z/偏y (2)
(1)对y求偏导=偏^2 z/偏x偏y=x(1+y)+xy+f'(x)
(2)对x求偏导=偏^2 z/偏x偏y=f''(x)+2xy
两者相等可得
f''=f'+x
f''-f'=x
令t=f'
t'-t=x
积分因子为e^(-x)
两边同乘
(te^(-x))'=xe^(-x)
两边积分
te^(-x)=C1+(-x-1)e^(-x)
t=C1e^(x)-x-1
f'=C1e^(x)-x-1
再积一次分
f(x)=C1e^(x)-x^2/2-x+C2
代入x=0,f(0)=0
C1+C2=0
x=0,f'(0)=0
C1-1=0
C1=1,C2=-1
f(x)=e^x-x^2/2-x-1即为所求
--------------------------------------
偏z/偏x=xy(1+y)+(e^x-x-1)y
偏z/偏y=e^x-x-1+x^2y
第一式对x积分可得
z=y(1+y)x^2/2+(e^x-x^2/2-x)y+g(y)
第二式对y积分可得
z=(e^x-x-1)y+x^2y^2/2+h(x)
两者比较得到
z=(e^x-x-1)y+x^2y^2/2+C'
即(e^x-x-1)y+x^2y^2/2=C
C为任意常数
dz
所以
xy(1+y)+f'(x)y=偏z/偏x (1)
f'(x)+x^2y=偏z/偏y (2)
(1)对y求偏导=偏^2 z/偏x偏y=x(1+y)+xy+f'(x)
(2)对x求偏导=偏^2 z/偏x偏y=f''(x)+2xy
两者相等可得
f''=f'+x
f''-f'=x
令t=f'
t'-t=x
积分因子为e^(-x)
两边同乘
(te^(-x))'=xe^(-x)
两边积分
te^(-x)=C1+(-x-1)e^(-x)
t=C1e^(x)-x-1
f'=C1e^(x)-x-1
再积一次分
f(x)=C1e^(x)-x^2/2-x+C2
代入x=0,f(0)=0
C1+C2=0
x=0,f'(0)=0
C1-1=0
C1=1,C2=-1
f(x)=e^x-x^2/2-x-1即为所求
--------------------------------------
偏z/偏x=xy(1+y)+(e^x-x-1)y
偏z/偏y=e^x-x-1+x^2y
第一式对x积分可得
z=y(1+y)x^2/2+(e^x-x^2/2-x)y+g(y)
第二式对y积分可得
z=(e^x-x-1)y+x^2y^2/2+h(x)
两者比较得到
z=(e^x-x-1)y+x^2y^2/2+C'
即(e^x-x-1)y+x^2y^2/2=C
C为任意常数
f(x)具有二阶连续导数,f(0)=1,f'(0)=-1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x^2y]
设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=f'(0)=0,且使得[xy(1+y)+f'(x)y]dx+[f'(x)+x^2y
设f(x)具有二阶连续函数,f(0)=0,f′(0)=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f′(x)+x2y]d
设z=x^3 f(xy,y/x),其中f具有二阶连续偏导数,求az/ax.
【高数】设函数f(x)在实轴上连续,f'(0)存在,且具有性质f(x+y)=f(x)f(y),试求出f(x)
若f(x)具有二阶导数,且f'(x)=1,x+y=f(y),求d^2y/dx^2 在线等,
设F(x,y,z)=0,且F具有二阶连续偏导数,求z对x的二阶偏导数
Z=f(x+y,xy)其中f具有二阶连续偏导性,求偏导数
Z=f(x+y,xy)其中f具有二阶连续偏导性,求二阶偏导数?
设f(u)具有二阶连续导数,且g(x,y)=f(y/x)+yf(x/y),求x²(δ²g/δx&su
已知f(x)具有二阶连续导数,且f(0)=1,f(2)=4,f'(2)=2 求∫xf''(2x)dx
设函数F(X)具有二阶连续导数,且满足F(X)=[微分(上限X下限0)F(1-t)dt]+1,求F(X)