f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,证明g(x)在负无穷到正无穷的导函数
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/04 05:03:40
f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,证明g(x)在负无穷到正无穷的导函数
如题…
如题…
当x不等于零时g(x)=f(x)/x,显然f(x)具有二阶连续导数,1/x也是可导的,
故g′(x)=[xf′(x)-f(x)]/x^2,
当x不等于0时,由于f(x)具有二阶连续导数,故f′(x)也是连续的,显然1/x^2也是连续的,由连续的可加性及可乘性知,当x不等于0时,g的导函数是连续的;
当x=0时g(x)=f′(0),则有
lim(x→0)g(x)
=lim(x→0)f(x)/x (洛必达法则)
=lim(x→0)f′(x)
=f′(0)
故g(x)在x=0处连续,下面证明其导数在x=0处存在且连续:
g′(0)=lim(△x→0)[g(△x)-g(0)]/△x
=lim(△x→0)[f(△x)/△x-f′(0)]/△x
=lim(△x→0)[f(△x)-△x*f′(0)]/△x^2 (洛必达法则)
=lim(△x→0)[f′(△x)-f′(0)]/[2△x]
=1/2f′′(0)
lim(x→0)g′(x)
=lim(x→0)[xf′(x)-f(x)]/x^2
=lim(x→0)[f′(x)/x-f(x)/x^2] (洛必达法则)
=lim(x→0)[f′(x)/x-f′(x)/2x]
=lim(x→0)1/2f′′(x)
=1/2f′′(0)
因此g′(0)=lim(x→0)g′(x)
故g′(x)=[xf′(x)-f(x)]/x^2,
当x不等于0时,由于f(x)具有二阶连续导数,故f′(x)也是连续的,显然1/x^2也是连续的,由连续的可加性及可乘性知,当x不等于0时,g的导函数是连续的;
当x=0时g(x)=f′(0),则有
lim(x→0)g(x)
=lim(x→0)f(x)/x (洛必达法则)
=lim(x→0)f′(x)
=f′(0)
故g(x)在x=0处连续,下面证明其导数在x=0处存在且连续:
g′(0)=lim(△x→0)[g(△x)-g(0)]/△x
=lim(△x→0)[f(△x)/△x-f′(0)]/△x
=lim(△x→0)[f(△x)-△x*f′(0)]/△x^2 (洛必达法则)
=lim(△x→0)[f′(△x)-f′(0)]/[2△x]
=1/2f′′(0)
lim(x→0)g′(x)
=lim(x→0)[xf′(x)-f(x)]/x^2
=lim(x→0)[f′(x)/x-f(x)/x^2] (洛必达法则)
=lim(x→0)[f′(x)/x-f′(x)/2x]
=lim(x→0)1/2f′′(x)
=1/2f′′(0)
因此g′(0)=lim(x→0)g′(x)
f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,证明g(x)在负无穷到正无穷的导函数连续
f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,证明g(x)在负无穷到正无穷的导函数
设f(x)在负无穷到正无穷有连续的二阶导数,且f(0)=0,设g(x)=f(x)/x,x不等于0;g(x)=a,x=0
用导数证明,(1)f(x)=e的x次方在区间(负无穷,正无穷)上是增函数
关于数学有界性的证明证明函数f(x)=x/1+x2在正无穷到负无穷内有界
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若函数f(x)在负无穷到正无穷内满足f(x)的导数=f(x),且f(0)=1,则f(x)=e的x次方
证明:若f(x)在负无穷到正无穷内连续,且当x趋于无穷时f(x)的极限存在,则f(x)必在负无穷到正无穷内有界.
证明f(x)=3x+2在负无穷到正无穷的区间上是增函数
已知函数y=f(x)是定义在负无穷到正无穷上的奇函数,且在[0到正无穷]上为增函数
证明函数f(x)=负x三次方+1在负无穷到正无穷上是减函数
证明函数f(x)=负x三次方+2在负无穷到正无穷上是减函数