设f(x)是周期为2的连续函数,证明G(x)=∫（上x下0）[2f(t）-∫(上t+2下t)f(s)ds]dt是周期为2

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/13 09:29:09

设f(x)是周期为2的连续函数,证明G(x)=∫（上x下0）[2f(t）-∫(上t+2下t)f(s)ds]dt是周期为2的周期函数.

G(x)=∫(0,x)[2f(t)-∫(t,t+2)f(s)ds]dt
证明:
因为f(x)是周期为2的连续函数,f(x)=f(x+2)
又∫(t,t+2)f(s)ds=∫(t,2)f(s)ds+∫(2,t+2)f(s)ds
令s-2=v,ds=dv,则∫(2,t+2)f(s)ds=∫(0,t)f(v+2)dv=∫(0,t)f(v)dv=∫(0,t)f(s)ds
从而∫(t,t+2)f(s)ds=∫(0,t)f(s)ds+∫(t,2)f(s)ds=∫(0,2)f(s)ds=k（记）
那么G(x)=∫(0,x)[2f(t)-∫(t,t+2)f(s)ds]dt=∫(0,x)[2f(t)-k]dt
而G(x+2)=∫(0,x+2)[2f(t)-k]dt
令t-2=u,dt=du
则G(x+2)=∫(0,x+2)[2f(t)-k]dt=∫(0,x)[2f(u+2)-k]du+∫(x,x+2)[2f(u+2)-k]du
=∫(0,x)[2f(u)-k]du+∫(x,x+2)[2f(u)-k]du
注意到∫(x,x+2)[2f(u)-k]du=∫(x,2)[2f(u)-k]du+∫(2,x+2)[2f(u)-k]du
再令u-2=r,du=dr,∫(2,x+2)[2f(u)-k]du=∫(0,x)[2f(r+2)-k]dr=∫(0,x)[2f(u)-k]du
于是∫(x,x+2)[2f(u)-k]du=∫(0,2)[2f(u)-k]du=2∫(0,2)f(u)du-2k=2k-2k=0
因此G(x+2)=∫(0,x)[2f(u)-k]du=∫(0,x)[2f(t)-k]dt=G(x)
即G(x+2)=G(x)命题得证.

设f(x)是周期为2的连续函数,证明G(x)=∫（上x下0）[2f(t）-∫(上t+2下t)f(s)ds]dt是周期为2 设f(x)是在R上是以T为周期的连续函数,证明如果f(x)是奇函数,F(x)=∫_0^x〖f(t)dt〗也是以T为周期的 f(x)是连续函数,且f(x)=3x^2-x ∫ f(t)dt （上2下0）则f(1)= 求问一道高等数学题设f(x)为连续函数,且F(x)= ∫(上e^-x,下x^2) xf(t)dt ,则dF/dt= 设f(x)是周期为2T的连续函数,证明,存在ζ∈[0,T]使f(ζ)=f(x+ζ) 设f(x)为连续函数,证明：∫下0上x f(t)(x-t)dt=∫下0上x（∫下0上t f(u)du)dt 设f（x）=x+2∫f(t)dt,积分上限是1,下限是0 其中f（x）为连续函数,求f（x） f(x)为连续函数,f(x)=x+2∫(上1下0) f(t)dt ,则f(x)=? f(x)是R上的连续函数,f(x)=x+S下0上1 f(t)dt 设f(x)是以T为周期的连续函数,∫（下限a,上限x）f(t)dt以T为周期,求∫(下限0,上限T)f(x)dx=? 当f（x）是以2为周期的连续周期函数时,证明函数G（x）=2∫（0,x）f（t）dt-x∫（0,2）f（t）dt也是以2 微积分:f(x)是周期为T的连续函数,证明: