搜搜做题作业网设A,B是数域P上两个n阶矩阵,A^n=B^n=0,但A^(n-1)不等于0,A^(n-1)不等于0.证明A与B相似.
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/06/04 01:20:26
设A,B是数域P上两个n阶矩阵,A^n=B^n=0,但A^(n-1)不等于0,A^(n-1)不等于0.证明A与B相似.
如果可以用Jordan标准型,那么方法很直接.
由A,B幂零,A,B都只有0特征值.特征值为0的r阶Jordan块是r次幂零的.
A^(n-1)非零,说明A有大于n-1阶的Jordan块,于是A只有一个n阶Jordan块.
B也同样,于是A,B有相同的相似标准型,二者相似.
如果不能用Jordan标准型,我们就从Jordan标准型的证明中截取一段.
A视为线性变换.
A^(n-1)不等于0故存在向量X使A^(n-1)X非零.
我们证明X,AX,A²X,...,A^(n-1)X线性无关.
设k_0*X+k_1*AX+...+k_(n-1)*A^(n-1)X=0,记为(1)式.
(1)式用A^(n-1)作用得k_0=0,于是(1)式用A^(n-2)作用得k_1=0,依次类推至k_(n-1)=0.
我们得到X,AX,A²X,...,A^(n-1)X构成一组基,而A在这组基下的矩阵就是n阶Jordan块.
对B得到同样结论,知A,B相似.
由A,B幂零,A,B都只有0特征值.特征值为0的r阶Jordan块是r次幂零的.
A^(n-1)非零,说明A有大于n-1阶的Jordan块,于是A只有一个n阶Jordan块.
B也同样,于是A,B有相同的相似标准型,二者相似.
如果不能用Jordan标准型,我们就从Jordan标准型的证明中截取一段.
A视为线性变换.
A^(n-1)不等于0故存在向量X使A^(n-1)X非零.
我们证明X,AX,A²X,...,A^(n-1)X线性无关.
设k_0*X+k_1*AX+...+k_(n-1)*A^(n-1)X=0,记为(1)式.
(1)式用A^(n-1)作用得k_0=0,于是(1)式用A^(n-2)作用得k_1=0,依次类推至k_(n-1)=0.
我们得到X,AX,A²X,...,A^(n-1)X构成一组基,而A在这组基下的矩阵就是n阶Jordan块.
对B得到同样结论,知A,B相似.
设A,B是数域P上两个n阶矩阵,A^n=B^n=0,但A^(n-1)不等于0,A^(n-1)不等于0.证明A与B相似.
矩阵论中这样一道证明题.A的n次方 =0,B的n次方 =0,求证A与B相似 A与B的n-1次方都不等于0,求证A与B相似
设A,B都是n阶方阵,且|A|不等于0,证明AB与BA相似.
设A,B为两个n维列向量,(A^T)B不等于0,矩阵C=A(B^T),
设AB都是n阶矩阵,且|A|不等于0证明AB与BA相似
设A ,B为n阶矩阵,如何证明若A*B=k*En(k不等于0）,则B*A=k*En
设A是N阶方阵,若存在N阶方阵B不等于零,使AB=0（矩阵）,证明R(A)
设n阶矩阵A,B满足AB=aA+bB.其中ab不等于0,证明AB=BA.
已知：a.b是正实数,n是正整数,n不等于1,求证 a^n+b^n>=a^(n-1) b+a b^(n-1)
设A是n阶矩阵,若Ax=b对任何b都有解,A的行列式不等于0 求证!
已知a>0,a不等于1,m>n>0,比较A=a^m+1/a^m与B=a^n+1/a^n的大小
设 A是数域P 上一个N*N 阶矩阵,证明 A与 A^T相似