导函数间断点问题有人说导函数没有第一类间断点,也就是说有些导函数可以有第二类间断点.可是在一点处可导的定义是,左导数等于

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 22:37:06

导函数间断点问题
有人说导函数没有第一类间断点,也就是说有些导函数可以有第二类间断点.
可是在一点处可导的定义是,左导数等于右导数.
不过要是有第二类间断点的话,左右导数还怎么相等啊?
到底是我哪里的理解出问题了,彻底糊涂了

导函数有第二类间断点并不表示该点函数不可导,而是在该点如a处：
lim{x->a}f'(x)≠f'(a)且导函数的左右极限f'(a-0)与f'(a+0)至少有一个不存在,例如
当x≠0时,f(x)=x^2sin(1/x); 当x=0时,f(0)=0
则函数f(x)处处可导,且
当x≠0时,f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x); f'(0)=0 (可用导数定义算出)
但在x=0处导函数f'(x)的左右极限f'(0-0)与f'(0+0)都不存在（因为cos(1/x)当x->0时在-1至1之间震荡极限不存在）
即x=0是f'(x)的第二类间断点,但f(x)在x=0处是可导的
再问：非常感谢您的回答！ f(x)可导，就是lim{x->a}[f(x)-f(a)]/(x-a)这个极限存在，即lim{x->a-}[f(x)-f(a)]/(x-a)=lim{x->a+}[f(x)-f(a)]/(x-a)—— 左导数=右导数即 lim{x->a-}f'(x)= lim{x->a+}f'(x) ① 前面说f'(x)在a处第二类间断，就是说lim{x->a-}f'(x)与lim{x->a+}f'(x)之间至少有一个不存在，就是说lim{x->a-}f'(x)≠lim{x->a+}f'(x) ② ①②矛盾啊，哪里错了，恳请您的指点，之后我会满分追加的。拜谢
再答：即lim{x->a-}[f(x)-f(a)]/(x-a)=lim{x->a+}[f(x)-f(a)]/(x-a)—— 左导数=右导数即 lim{x->a-}f'(x)= lim{x->a+}f'(x) ① 你的这个推理错了，两个概念搞错了，左导数和导函数的左极限是两个概念，两者不一定相等，右导数也是如此

导函数间断点问题有人说导函数没有第一类间断点,也就是说有些导函数可以有第二类间断点.可是在一点处可导的定义是,左导数等于为什么说单调增加函数的间断点都是第一类间断点不也可以是可去间断点吗高数.函数在一点处无定义,可以是无穷间断点,可去间断点,振荡间断点,也可以是跳跃间断点. 可积函数可以有有限个间断点,这些间断点是第一类还是第二类【常见问题】为什么“导函数不存在第一类间断点” 函数f(x)在定义区间[a,b] 上单调,若f(x)有间断点只能是第一类间断点..这句话是错的吧? 一个函数的导函数是否存在第一类间断点? 不连续一定不可导,可为什么分段函数中的间断点可以通过定义求出间断点的导数呢可导必连续,不连续一定不可导,可为什么分段函数中的间断点可以通过定义求出间断点的导数呢函数y=sin x sin1/x的间断点是是第类间断点? 假如x.是函数的第二类间断点,那函数一定在x.没有定义吗? 高等数学中,函数的第一类间断点怎么求?