已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x 2 ＋ax－3.

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 03:35:08

已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x² ＋ax－3.
(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；
(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>

－

成立．

（1）f(x)_min ＝

（2）a≤4（3）见解析

(1)f′(x)＝lnx＋1，当x∈

时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈

时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
①当0<t<t＋2<

时，t无解；②当0<t<

<t＋2，即0<t<

时，f(x)_min ＝f

＝－

；
③当

≤t<t＋2，即t≥

时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)_min ＝f(t)＝tlnt，
所以f(x)_min ＝

.
(2)由题意，要使2xlnx≥－x² ＋ax－3在x∈(0，＋∞)恒成立，即要使a≤2lnx＋x＋

恒成立．
设h(x)＝2lnx＋x＋

(x>0)，则h′(x)＝

＋1－

.
当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．
所以x＝1时，h(x)取得极小值，也就是最小值，
即[h(x)]_min ＝h(1)＝4，所以a≤4.
(3)证明：问题等价于证明xlnx>

－

，x∈(0，＋∞)．
由(1)知，f(x)＝xlnx在(0，＋∞)上最小值是－

，
当且仅当x＝

时取得．设m(x)＝

－

，x∈(0，＋∞)，则m′(x)＝

，
易得[m(x)]_max ＝m(1)＝－

，
当且仅当x＝1时取得，
从而对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>

－

成立

已知f（x）＝xlnx,g（x）＝x3次方＋ax方－x＋2 已知f(x)=xlnx,g(x)=x^3+ax^2-x+2 已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x^2+2ax-3, 已知f(x)=xlnx,g(x)=-x^2+ax-3 已知f(x)=xlnx,g(x)=x^3+2ax^2+2,当x>0,2f(x) 已知f(x)=xlnx,g(x)=x^3+ax^2-x+2,若不等式2f(x) 已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3. 已知函数f（x）=-xlnx+ax在（0，e）上是增函数，函数g(x)＝|e 已知f(x)=xlnx,g(x)=-x^2+ax+x-3,若对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立已知f(x)＝xlnx,g(x)＝1/2(x^2)－x＋a.(1.) 当a＝2时,求函数y＝g(x)在[0,3]上的值域已知函数f(x)=xlnx,g(x)=2x-3.(1)证明f(x)>g(x). 设f(x)＝ax+xlnx，g（x）=x3-x2-3．