搜搜做题作业网求积分中值定理的证明在证明过程中能不能不用最小最大值定理?
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/11 15:08:57
求积分中值定理的证明
在证明过程中能不能不用最小最大值定理?
在证明过程中能不能不用最小最大值定理?
可以的
再问： 请给我证明过程
再答： 积分中值定理： 若函数 f(x) 在 闭区间 [a, b]上连续,，则在积分区间 [a, b]上至少存在一个点 ξ，使下式成立 ∫ 下限a上限b f(x)dx=f(ξ)(b-a) （ a≤ ξ≤ b) 证明： 因为 f(x) 是闭区间 [a,b]上的连续函数， 设 f(x) 的最大值及最小值分别为 M及 m ，于是 m≦f(x)≦M 将上式同时在 [a,b]区间内积分，可得 m(b-a)≦∫下限a 上限 b f(x) dx≦M(b-a) 即 m≦∫下限a 上限 b f(x) dx /(b-a)≦M 因为 m≦f(x)≦M 是连续函数， 由介值定理，必存在一点 ξ， 使得 ∫下限a 上限 b f(x) dx /(b-a)= f(ξ) 即 ∫下限a 上限 b f(x) dx= f(ξ) (b-a)
再问： 请给我证明过程
再答： 积分中值定理： 若函数 f(x) 在 闭区间 [a, b]上连续,，则在积分区间 [a, b]上至少存在一个点 ξ，使下式成立 ∫ 下限a上限b f(x)dx=f(ξ)(b-a) （ a≤ ξ≤ b) 证明： 因为 f(x) 是闭区间 [a,b]上的连续函数， 设 f(x) 的最大值及最小值分别为 M及 m ，于是 m≦f(x)≦M 将上式同时在 [a,b]区间内积分，可得 m(b-a)≦∫下限a 上限 b f(x) dx≦M(b-a) 即 m≦∫下限a 上限 b f(x) dx /(b-a)≦M 因为 m≦f(x)≦M 是连续函数， 由介值定理，必存在一点 ξ， 使得 ∫下限a 上限 b f(x) dx /(b-a)= f(ξ) 即 ∫下限a 上限 b f(x) dx= f(ξ) (b-a)