（2010•杭州模拟）如图，M、N、P分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点．

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/27 06:11:04

（2010•杭州模拟）如图，M、N、P分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB、BC、DD₁上的点．
（1）若

（2010•杭州模拟）如图，M、N、P分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点．

证明：（1）连接AC、BD，则BD⊥AC，
∵
BM
MA=
BN
NC，
∴MN∥AC，∴BD⊥MN．
又∵DD₁⊥平面ABCD，
∴DD₁⊥MN，
∵BD∩DD₁=D，∴MN⊥平面BDD₁．
又P无论在DD₁上如何移动，总有BP⊂平面BDD₁，
∴无论点P在D₁D上如何移动，总有BP⊥MN．
（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的坐标系．设正方体的棱长为1，AM=NC=t，

则M（1，t，0），N（t，1，0），B₁（1，1，1），
P（0，0，
2
3），B（1，1，0），A（1，0，0），
∵=（0，1-t，1），
B=(−1，−1，
2
3)
又∵BP⊥平面MNB₁，
∴•B=0，
即t-1+
2
3=0，∴t=
1
3，
∴=（0，
2
3，1），
M=（-
2
3，
2
3，0）．
设平面MNB₁的法向量n=（x，y，z），
由，
得x=y，z=-
2
3y．
令y=3，则n=（3，3，-2）．
∵AB⊥平面BB₁N，
∴AB是平面BB₁N的一个法向量，AB=（0，1，0）．
设二面角M-B₁N-B的大小为θ，
∴cos＜n，A＞
=
|(3，3，−2)•(0，1，0)|

22
=
3
22
22．
则二面角M-B₁N-B的余弦值为
3
22
22．
（3）存在点P，且P为DD₁的中点，
使得平面APC₁⊥平面ACC₁．
证明：∵BD⊥AC，BD⊥CC₁，
∴BD⊥平面ACC₁．
取BD₁的中点E，连PE，
则PE∥BD，
∴PE⊥平面ACC₁．
∵PE⊂平面APC₁，
∴平面APC₁⊥平面ACC₁．