求微分方程y''+y=x+cosx的通解

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/24 06:52:39

y''+y=0的通解是y＝C1sinx+C2cosx,y''+y=x的特解为y＝x,y’‘+y＝cosx的特解设为
y＝x(acosx+bsinx),于是y'=acosx+bsinx+x(bcosx－asinx),
y''=2bcosx－2asinx－x(bsinx+acosx),代入得
2bcosx－2asinx＝cosx,于斯b＝0.5,a＝0,特解是y＝0.5xsinx.
综上,通解是y＝C1sinx+C2cosx+x(0.5sinx+1).
再问：为什么把y’‘+y＝cosx的特解设为y＝x(acosx+bsinx)设成y＝acosx+bsinx不行吗？
再答：不行。因为cosx是齐次方程的解，这事设为y＝acosx+bsinx代入必得0。当方程右端项f(x)是齐次方程的解时，设特解时要乘以一个x才行。这个书上都有介绍吧。

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