（2004•湖北）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/06/08 10:22:12

（2004•湖北）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．
（I）试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（II）当D₁E⊥平面AB₁F时，求二面角C₁-EF-A的大小（结果用反三角函数值表示）．

（2004•湖北）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．

解法一：（I）连接A₁B，则A₁B是D₁E在面ABB₁A；内的射影
∵AB₁⊥A₁B，∴D₁E⊥AB₁，
于是D₁E⊥平面AB₁F⇔D₁E⊥AF．
连接DE，则DE是D₁E在底面ABCD内的射影．
∴D₁E⊥AF⇔DE⊥AF．
∵ABCD是正方形，E是BC的中点．
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D₁E⊥平面AB₁F．（6分）

（II）当D₁E⊥平面AB₁F时，由（I）知点F是CD的中点．
又已知点E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD．连接AC，
设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连接C₁H，则CH是
C₁H在底面ABCD内的射影．
C₁H⊥EF，即∠C₁HC是二面角C₁-EF-C的平面角．
在Rt△C₁CH中，∵C₁C=1，CH=
1
4AC=

2
4，
∴tan∠C₁HC=
C1C
CH＝
1

2
4＝2
2．
∴∠C₁HC=arctan2
2，从而∠AHC₁=π-arctan2
2．
故二面角C₁-EF-A的大小为π−arctan2
2．

解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
（1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），
A₁（0，0，1），B（1，0，1），D₁（0，1，1），E