作业帮 > 数学 > 作业

求证:关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为-1的充要条件是:a+c=b+d

来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/14 07:51:20
求证:关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为-1的充要条件是:a+c=b+d
RT.
求证:关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为-1的充要条件是:a+c=b+d
必要性:
-1是方程的根,代入方程可得-a+b-c+d=0
即a+c=b+d
充分性:
因a+c=b+d,所以d=a+c-b
代入方程得ax3+bx2+cx+a+c-b=0
即(ax3+a)+(bx2-b)+(cx+c)=0
分解因式a(x+1)(x^2-x+1)+b(x+1)(x-1)+c(x+1)=0
提出(x+1)得(x+1)[a(x^2-x+1)+b(x-1)+c]=0
故-1是方程的一个根
综上:关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为-1的充要条件是:a+c=b+d