搜搜做题作业网已知f(x)＝1x−1．
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/06/24 09:03:58
已知f(x)＝
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（1）由
1
x−1≥0得定义域为（0，1]．
（2）f（x）在（0，1）内单调递减，证明如下．
设0＜x1＜x2≤1，则f(x2)−f(x1)＝
1
x2−1−
1
x1−1＝
x1−x2
x2x1
1
x2−1+
1
x1−1＜0．
即f（x2）＜f（x1）．这就是说函数f（x）在（0，1]上单调递减．
（3）令y＝
1
x−1，解得x＝
1
1+y2（y≥0），即f−1(x)＝
1
1+x2（x≥0）．
（4）由f-1（x1）f-1（x2）＞f-1（m），
化简得到：（1+x12）（1+x22）＜1+m2．
注意到m=x1+x2，以及x1，x2＞0代入整理得：x1x2＜2．
把x2=m-x1代入整理得到：x12-mx1+2＞0．
该关于x1的不等式对于一切（0，m）内的x1恒成立．
所以(
m
2)2−m•
m
2+2＞0．解得0＜m＜2
2．
1
x−1≥0得定义域为（0，1]．
（2）f（x）在（0，1）内单调递减，证明如下．
设0＜x1＜x2≤1，则f(x2)−f(x1)＝
1
x2−1−
1
x1−1＝
x1−x2
x2x1
1
x2−1+
1
x1−1＜0．
即f（x2）＜f（x1）．这就是说函数f（x）在（0，1]上单调递减．
（3）令y＝
1
x−1，解得x＝
1
1+y2（y≥0），即f−1(x)＝
1
1+x2（x≥0）．
（4）由f-1（x1）f-1（x2）＞f-1（m），
化简得到：（1+x12）（1+x22）＜1+m2．
注意到m=x1+x2，以及x1，x2＞0代入整理得：x1x2＜2．
把x2=m-x1代入整理得到：x12-mx1+2＞0．
该关于x1的不等式对于一切（0，m）内的x1恒成立．
所以(
m
2)2−m•
m
2+2＞0．解得0＜m＜2
2．