n阶方阵A满足(A+I)^m=0,则|A|=
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/24 12:46:57
n阶方阵A满足(A+I)^m=0,则|A|=
首先证明幂零矩阵B=A+E的所有特征值均等于0.
这是因为B的任意特征值c有相应的特征向量,即非零向量v满足Bv=c*v.
B^m=0,所以0=(B^m)v=(c^m)*v,v非零故只有c^m=0,所以c=0.
B=A+E的特征值都为0,即B的特征多项式为λ^n.
所以A的特征多项式|λE−A|=|(λ+1)E−B|=(λ+1)^n,于是A的特征值都为-1.
而|A|等于A的全体特征值的乘积,故|A|=(-1)^n.
这是因为B的任意特征值c有相应的特征向量,即非零向量v满足Bv=c*v.
B^m=0,所以0=(B^m)v=(c^m)*v,v非零故只有c^m=0,所以c=0.
B=A+E的特征值都为0,即B的特征多项式为λ^n.
所以A的特征多项式|λE−A|=|(λ+1)E−B|=(λ+1)^n,于是A的特征值都为-1.
而|A|等于A的全体特征值的乘积,故|A|=(-1)^n.
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4.若n 阶方阵 A满足,A^2=0 则下列命题哪一个成立 ( ).
若n阶方阵A满足,A^2=0,则以下命题哪一个成立?
若n阶方阵A满足A²-2A-4I=0,则A的逆矩阵等于多少?急,在线等.
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