如图,在平面直角坐标系中,A(a,0)B(0,b),且a,b满足b=[ (√a的平方-4)+(√4-a的平方

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 20:25:21

如图,在平面直角坐标系中,A(a,0)B(0,b),且a,b满足b=[ (√a的平方-4)+(√4-a的平方
如图,在平面直角坐标系中,A（a,0）B（0,b）,且a,b满足b=[ (√a的平方-4)+（√4-a的平方)+16]/a+2
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点M为直线y=mx在第一象限上一点,且△ABM是以AB为腰的等腰直角三角形,求m的值及点M的坐标；
（3）若E为边OA上的一个动点,当△BME的周长最小时,求点E的坐标

在平面直角坐标系中,A（a,0）B（0,b）,且a,b满足b=[√(a²-4)+√(4-a²)+16]/(a+2)
（1）求直线AB的解析式；（2）若点M为直线y=mx在第一象限上一点,且△ABM是以AB为腰的等腰直角三角形,求m的值及点M的坐标；（3）若E为边OA上的一个动点,当△BME的周长最小时,求点E的坐标
(1).∵b=[√(a²-4)+√(4-a²)+16]/(a+2),b是实数,故a²-4≧0,4-a²≧0,a+2≠0,
故a=2；b=16/4=4,∴AB所在直线的截距式方程为x/2+y/4=1,变成斜截式就是：y=-2x+4.
(2).︱AB︱=√(4+16)=√20=2√5,AB所在直线的斜率KAB=-2；当△ABM是以A为直角点时,则有
AM⊥AB,且︱AM︱=︱AB︱=2√5,AM所在直线的方程为y=(1/2)(x-2)=(1/2)x-1,设M的坐标为
(m,（m-2)/2),︱AM︱²=20=(m-2)²+(m-2)²/4=5(m-2)²/4,(m-2)²=16,m-2=±4,故m=6或-2(舍去,因为M在第一象限).,这时M的坐标为(6,2).
当△ABM是以B为直角点时,则有BM⊥AB,且︱BM︱=︱AB︱=2√5,BM所在直线的方程为
y=(1/2)x+4,此时设M的坐标为(m,（m+8)/2),︱BM︱²=20=m²+[(m+8)/2-4]²=5m²/4,
故得m=4或m=-4(舍去,理由同上),这时M的坐标为(4,6).
(3)只取M(4,6)进行计算（M是(6,2）时计算方法一样).
设E点的坐标为(x,0),则△BME的周长L=︱EB︱+︱EM︱+︱BM︱,∵︱BM︱=2√5是定值,∴要求L的最小值只需求︱EB︱+︱EM︱的最小值.
为此在y轴的负向上取与B对称的一点B₁(-4,0),连接MB₁与x轴相交的点就是所要求的E点；
MB₁所在直线的方程为y=[(6+4)/4]x-4=(5/2)x-4,令y=0,即得E点的坐标为(8/5,0)；此时
︱EB︱=√[(8/5)²+16]=√(464/25)=(4/5)√29；︱EM︱=√[(4-8/5)²+36]=√(1044/25)=(6/5)√29
故Lmin=2√5+(4/5)√29+(6/5)√29=2√5+2√29.
此时的L为什么是最小的?证明很简单,此处略.