已知抛物线C:y^2=4x,O为坐标原点,焦点F关于y轴的对称点E,过点E作动直线l交抛物线C与M,P两点.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/15 04:39:54
已知抛物线C:y^2=4x,O为坐标原点,焦点F关于y轴的对称点E,过点E作动直线l交抛物线C与M,P两点.
①若△POM的面积为5/2,求向量OM与OP的夹角.
②过点F做两条斜率存在且互相垂直的直线L1,L2,设L1与y^2=4x相交于A,B两点,L2与y^2=4x相交于点D,E,求向量AD·EB的最小值.
PS:第一问具体思路我清楚,无非利用设而不求,方程联立,韦达定律来做,但是在最后和面积的联系上卡住了,求具体过程,还有第二问类型的思考过程是怎么样的,
①若△POM的面积为5/2,求向量OM与OP的夹角.
②过点F做两条斜率存在且互相垂直的直线L1,L2,设L1与y^2=4x相交于A,B两点,L2与y^2=4x相交于点D,E,求向量AD·EB的最小值.
PS:第一问具体思路我清楚,无非利用设而不求,方程联立,韦达定律来做,但是在最后和面积的联系上卡住了,求具体过程,还有第二问类型的思考过程是怎么样的,
抛物线C:y^2=4x 焦点F(1,0),
F关于y轴的对称点E(-1,0)
设直线l: x=ty-1 代入y^2=4x 得:
y^2=4ty-4 即 y^2-4ty+4=0
Δ=16t^2-16>0,t>1或t|y1|
则 y1+y2=4t,y1y2=4
∴S△POM=SΔPOE-SΔMOE
=1/2×OE×(|y2|-|y1|)
=1/2|y2-y1|=5/2
∴y2-y1=±5 y1y2=4
∴x1x2= y1²/4×y2²/4=1
y1²+y2²-2y1y2=25
y1²+y2²=25+8=33
OM=(x1,y1),OP=(x2,y2)
cos< OM,OP>
=(x1x2+y1y2)/[√(x1^2+y1^2) ×√(x2²+y2²)]
=5/√(x1²x2²+y1²y2²+x1²y2²+x2²y1²)
=5/√(17+4x1²x2+4x1x2²)
=5/√[17+4x1x2(x1+x2)]
=5/√[17+(4x1+4x2)]
=5/√[17+(y1²+y2²)]
=5/√50=√2/2
∴< OM,OP>=π/4
2
L1:x=my+1 代入y^2=4x 得:
y^2=4my+4 即 y^2-4my-4=0
设A(x3,y3), B(x4,y4)
则 y3+y4=4m,y3y4=-4
设 L2:x=-1/my+1与y^2=4x 联立
设交点:D(x5,y5),G(x6,y6) (改成G不然与前面重)
同理 :y5+y6=-4/m,y5y6=-4
∴ 向量AD·GB
=(FD-FA)·(FB-FG) (很关键的转换)
=FD·FB-FD·FG-FA·FB+FA·FG
∵ FD·FB=0,FA·FG=0
∴向量AD·GB=-FD·FG-FA·FB
=|FD||FG|+|FA||FB|
=√[(x5-1)²+y5²]·√[(x6-1)²+y6²]+√[(x3-1)²+y3²]·√[(x4-1)²+y4²]
=√[y5²(1+1/m²)·√[y6²(1+1/m²)]+√[y3²(1+m²)·√[y4²(1+m²)] (x5-1=-1/my5 ,.)
=(1+1/m²)|y5y6|+(1+m²)|y3y4|
=4(1+1/m²)+4(1+m²)
=8+4(1/m²+m²)≥8+8√(1/m²*m²)=16
∴m=±1时,向量AD·GB取得最小值16
(第2问,我也想了很久,开始向量AD·GB想直接做,受挫)
再问: “ cos< OM,OP> =(x1x2+y1y2)/[√(x1^2+y1^2) ×√(x2²+y2²)] =5/√(x1²x2²+y1²y2²+x1²y2²+x2²y1²)” 在这一步中,请问“x1²y2²+x2²y1² ”的值是如何得出的? 另外,这么快的速度,分给你了!
F关于y轴的对称点E(-1,0)
设直线l: x=ty-1 代入y^2=4x 得:
y^2=4ty-4 即 y^2-4ty+4=0
Δ=16t^2-16>0,t>1或t|y1|
则 y1+y2=4t,y1y2=4
∴S△POM=SΔPOE-SΔMOE
=1/2×OE×(|y2|-|y1|)
=1/2|y2-y1|=5/2
∴y2-y1=±5 y1y2=4
∴x1x2= y1²/4×y2²/4=1
y1²+y2²-2y1y2=25
y1²+y2²=25+8=33
OM=(x1,y1),OP=(x2,y2)
cos< OM,OP>
=(x1x2+y1y2)/[√(x1^2+y1^2) ×√(x2²+y2²)]
=5/√(x1²x2²+y1²y2²+x1²y2²+x2²y1²)
=5/√(17+4x1²x2+4x1x2²)
=5/√[17+4x1x2(x1+x2)]
=5/√[17+(4x1+4x2)]
=5/√[17+(y1²+y2²)]
=5/√50=√2/2
∴< OM,OP>=π/4
2
L1:x=my+1 代入y^2=4x 得:
y^2=4my+4 即 y^2-4my-4=0
设A(x3,y3), B(x4,y4)
则 y3+y4=4m,y3y4=-4
设 L2:x=-1/my+1与y^2=4x 联立
设交点:D(x5,y5),G(x6,y6) (改成G不然与前面重)
同理 :y5+y6=-4/m,y5y6=-4
∴ 向量AD·GB
=(FD-FA)·(FB-FG) (很关键的转换)
=FD·FB-FD·FG-FA·FB+FA·FG
∵ FD·FB=0,FA·FG=0
∴向量AD·GB=-FD·FG-FA·FB
=|FD||FG|+|FA||FB|
=√[(x5-1)²+y5²]·√[(x6-1)²+y6²]+√[(x3-1)²+y3²]·√[(x4-1)²+y4²]
=√[y5²(1+1/m²)·√[y6²(1+1/m²)]+√[y3²(1+m²)·√[y4²(1+m²)] (x5-1=-1/my5 ,.)
=(1+1/m²)|y5y6|+(1+m²)|y3y4|
=4(1+1/m²)+4(1+m²)
=8+4(1/m²+m²)≥8+8√(1/m²*m²)=16
∴m=±1时,向量AD·GB取得最小值16
(第2问,我也想了很久,开始向量AD·GB想直接做,受挫)
再问: “ cos< OM,OP> =(x1x2+y1y2)/[√(x1^2+y1^2) ×√(x2²+y2²)] =5/√(x1²x2²+y1²y2²+x1²y2²+x2²y1²)” 在这一步中,请问“x1²y2²+x2²y1² ”的值是如何得出的? 另外,这么快的速度,分给你了!
已知抛物线C:y^2=4x,O为坐标原点,焦点F关于y轴的对称点E,过点E作动直线l交抛物线C与M,P两点.
已知点A(-1,0),F(1,0)和抛物线C:y²=4x,O为坐标原点,过点A的动直线l交抛物线C于M、P两点
已知过点P(0,2)的直线l与抛物线C:y^2=4x交与A,B两点,O为坐标原点.求
已知抛物线C y^2=4x顶点在原点,焦点F(1,0),过点P(-1,0)作斜率为k的直线l交抛物线C于两点A、B
已知抛物线C:y²=4x的准线与x轴交于m点,F为抛物线焦点,过点M斜率为k的直线l与抛物线交于点A.B两点
已知抛物线y^2=2px(p>0),过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点,O为坐标原点,求证:
)已知抛物线y^2=4x,过点P(-2,0)的一条直线l交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,F为焦点
在平面直角坐标系中,O是坐标原点,抛物线E的方程为y^2=4x..过点P(4,0)的直线交抛物线E于C、D两点,求证以
已知抛物线y^2=2x(p大于0),过点(1,0)作斜率为k的直线l交抛物线于A,B两点,A点关于x轴的对称点为C,..
已知抛物线C,y^2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线L与C相交与A,B两点,点A关于X轴的对称点为D.
已知过点p(0,2)的直线l与抛物线y∧2=4x交于a,b两点,o为坐标原点.
圆锥曲线题目已知过抛物线y²=4x焦点F的直线与抛物线交A、B两点,过原点O的直线AO交抛物线准线于C点(2)