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在线求指导：若函数y=f（x）在x=x

来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/22 16:46:23
在线求指导：若函数y=f（x）在x=x
若函数y=f（x）在x=x 0 处取得极大值或极小值,则称x 0 为函数y=f（x）的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f（x）=x 3 +ax 2 +bx的两个极值点.
（1）求a和b的值；
（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2,求g（x）的极值点；
（3）设h（x）=f（f（x））-c,其中c∈[-2,2],求函数y=h（x）的零点个数.
在线求指导：若函数y=f（x）在x=x
（1）由 f（x）=x 3 +ax 2 +bx,得 f′（x）=3x 2 +2ax+b
∵1和-1是函数f（x）的两个极值点,
∴f′（1）=3-2a+b=0,f′（-1）=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.
（2）由（1）得,f（x）=x 3 -3x,
∴g′（x）=f（x）+2=x 3 -3x+2=（x-1） 2 （x+2）=0,
解得x 1 =x 2 =1,x 3 =-2
∵当x＜-2时,g′（x）＜0；
当-2＜x＜1时,g′（x）＞0,
∴-2是g（x）的极值点
∵当-2＜x＜1或x＞1时,g′（x）＞0,
∴1不是g（x） 的极值点
∴g（x）的极值点是-2.
（3）令f（x）=t,则h（x）=f（t）-c
先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况,d∈[-2,2]
当|d|=2时,由（2 ）可知,f（x）=-2的两个不同的根为1和-2,
注意到f（x）是奇函数,
∴f（x）=2的两个不同的根为-1和2
当|d|＜2时,∵f（-1）-d=f（2）-d=2-d＞0,f（1）-d=f（-2）-d=-2-d＜0,
∴-2,-1,1,2 都不是f（x）=d 的根
由（1）知,f′（x）=3（x+1）（x-1）
①当x∈（2,+∞）时,f′（x）＞0,于是f（x）是单调增函数,
从而f（x）＞f（2）=2
此时f（x）=d在（2,+∞）无实根
②当x∈（1,2）时,f′（x）＞0,于是f（x）是单调增函数
又∵f（1）-d＜0,f（2）-d＞0,y=f（x）-d的图象不间断,
∴f（x）=d在（1,2 ）内有唯一实根
同理,在（-2,-I1）内有唯一实根
③当x∈（-1,1）时,f′（x）＜0,于是f（x）是单调减函数
又∵f（1）-d＞0,f（2）-d＜0,y=f（x）-d的图象不间断,
∴f（x）=d在（-1,1 ）内有唯一实根
因此,当|d|=2 时,f（x）=d 有两个不同的根 x 1 ,x 2 ,满足|x 1 |=1,|x 2 |=2；
当|d|＜2时,f（x）=d 有三个不同的根x 3 ,x 4 ,x 5 ,满足|x i |＜2,i=3,4,5
现考虑函数y=h（x）的零点：
（ i ）当|c|=2时,f（t）=c有两个根t 1 ,t 2 ,满足|t 1 |=1,|t 2 |=2
而f（x）=t 1 有三个不同的根,f（x）=t 2 有两个不同的根,
故y=h（x）有5 个零点.
（ i i  ）当|c|＜2时,f（t）=c有三个不同的根t 3 ,t 4 ,t 5 ,满足|t i |＜2,i=3,4,5
而f（x）=t i 有三个不同的根,故y=h（x）有9个零点
综上所述,当|c|=2时,函数y=h（x）有5个零点；
当|c|＜2时,函数y=h（x）有9 个零点.
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