一、已知椭圆C:x²／a²＋y²／b²＝1（a>b>0）的离心率为根号2/2,它

一、已知椭圆C:x²／a²＋y²／b²＝1（a>b>0）的离心率为根号2/2,它的一条准线方程为x=2
（1）求椭圆C方程
（2）若A、B为椭圆上的两个动点,椭圆中心到直线AB的距离为根号6/3,求∠AOB的大小
二、已知函数f（x）=㏑x＋ax²／2－（a＋1）x,在点M（2,f（2））处的切线与直线3x－2y＝0平行
（1）求b的值
（2）证明当x属于〔1,＋∞）时,f（x）≤x²－2x－1
（3）若数列｛an｝满足：a1＝1,an＋1＝an（1＋1／2的n次方）,n属于N＋,求证an＜e（e＝2.71828…）
三、已知数列｛An｝的前n项和为Sn,A1＝2,对于n属于N＋,都有nAn＋1＝Sn＋n（n＋1）
（1）求数列｛An｝的通项公式
（2）设Bn＝Sn／2的n次方,若对于n属于N＋,都有Bn≤t,求t的最小值

写了很多,步骤很详细,有看不明白的地方可以用百度HI再问我,要给分呀.
一
（1）
解;
e=c/a=(√2)/2,a^2/c=2,
所以a=√2,c=1,b=1
所以椭圆C:x²／2＋y²＝1
（2）
解;
设A（x1,y1）,B (x2,y2),过AB的直线为y=kx+b,过点O作OM⊥AB于M,设M点坐标为（x,y）.
设x1*x2+y1*y2=t（这部设是精髓,因为,显然这个角是个特殊角,所以x1*x2+y1*y2（向量点乘积）一定是个特殊值,）
因为OM=√6/3,所以x^2+y^=2/3,
把y=kx+b带入x²／2＋y²＝1,整理得
（2k^2+1）x^2+4kbx+2b^2-2=0,所以
x1*x2=(2b^2-2)/(2k^2+1)
同理,可得
Y1*y2=(2b^2-2)/(2k^2+1)
所以 x1*x2+y1*y2=(2b^2-2)/(2k^2+1)+(2b^2-2)/(2k^2+1)
=（3b^2-2k^2-2）/(2k^2+1)
=t
所以, b^2=((2+2t)k^2+2+t)/3
因为 y=kx+b,
所以（y-kx）^2=b^2=((2+2t)k^2+2+t)/3
又k=-x/y,带入
展开,整理得
3（x^2+y^2）^2=2(x^2+y^2)+(2x^2+y^2)t,
因为
x^2+y^=2/3,带入上式,得
(2x^2+y^2)t=0,
又2x^2+y^2＞0,
所以,t=0
所以,x1*x2+y1*y2=t=0
所以OA⊥OB,∠AOB=90°
二
（1）你是要求a吧?解法如下

函数f(x)的导函数为
f’(x)=1/x+ax-a-1
所以f’(2)=1/2+2a-a-1
因为点M（2,f（2））处的切线与直线3x－2y＝0平行
所以f’(2)=3/2,
所以a=2
(2)
解:
当a=2时,f(x)=lnx+x^2-3x
令g(x)=x^2-2x-1,
h(x)=f(x)-g(x)= lnx+x^2-3x-( x^2-2x-1)
=lnx-x+1
h(x)的导函数为
h’(x)=1/x-1
当x≥1时,h’(x)≤0,
所以h(x)在[1,＋∞）上为减函数,
又h(1)=ln1＜0,、
所以当x＞1时,h(x)＜0
所以f(x)＜g(x)
即f(x)＜x^2-2x-1,
（3）用数学归纳法比较好
因为a1=1＜2
设an＜2
a(n+1)=(1+1/(2^n))*an
=an+1/(2^n)*an
因为an＜2
所以1/(2^n)*an＜1/(2^(n-1))
当n＞1时
1/(2^(n-1))≤1/2
所以1/(2^n)*an＜1/2
所以a(n+1) =an+1/(2^n)*an＜an+1/2
因为an＜2
所以a(n+1)＜2.5＜e
所以an＜e
三
（1）

因为n*A(n+1)=S(n)+n*(n+1) ①
所以（n-1）*A(n)=S(n-1)+n*(n-1) ②
① 减②得
n*A(n+1)-（n-1）*A(n)=A（n）+2n
整理得,
n*A（n+1）-n*A(n)=2n
两边除以n,得
A（n+1）-A(n)=2
所以这是一个等差数列,公差为2,首项为1
所以A(n)=2n-1
(2)
S(n)=n^2
B(n)=(n^2)/(2^n)
检验,
B(1)=1/2
B(2)=1
B(3)=9/8
B(4)=1
B(5)=25/32
当t=9/8时,B(n)≤9/8
所以t的最小值是9/8
证明:还是数学归纳法
当n≥4时
B（4）=1＜9/8
假设B(n)≤9/8成立
B(n+1)=(n+1)^2/(2^(n+1))
这就需要证明
当n≥4时,B(n+1)≤1
B(4)=1成立
设B(n)= (n^2)/(2^n)≤1
则B(n+1)= (n+1)^2/(2^(n+1))
这里用分析法来说明
如果
B(n+1)= (n+1)^2/(2^(n+1))＜1
则,2^(n+1)＞(n+1)^2
展开
2*2^n＞n^2+2n+1 ①
因为B(n)= (n^2)/(2^n)≤1
展开整理得
2^n＞n^2 ②
把②带入①得
2^n＞2n+1
n^2＞2n+1
n^2-2n-1＞0
这是一个二次函数,根据对称轴和单调性,知道,
当n≥4时,n^2-2n-1＞0
由于上面的每一步都是可以倒着推回去的,
所以 B(n+1)= (n+1)^2/(2^(n+1))＜1
所以
B(n)= (n^2)/(2^n)≤1
所以
B(n)≤9/8