搜搜做题作业网初三数学圆与抛物线综合题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/07 12:33:16
初三数学圆与抛物线综合题
抛物线y=ax^2+bx+c交y轴于点从c,已知抛物线的对称轴为x=1,b(3,0),c(0,-3)
(1)求抛物线y=ax^2+bx+c的解析式
（2）在抛物线对称轴上是否存在点P,使点P到B、C两点的距离之差最大?
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线与M、N两点,若以MN为直径的圆恰好
与x轴相切,求此圆的半径.
抛物线y=ax^2+bx+c交y轴于点从c,已知抛物线的对称轴为x=1,b(3,0),c(0,-3)
(1)求抛物线y=ax^2+bx+c的解析式
（2）在抛物线对称轴上是否存在点P,使点P到B、C两点的距离之差最大?
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线与M、N两点,若以MN为直径的圆恰好
与x轴相切,求此圆的半径.
（1）将B（3,0）和C（0,－3）代入y=ax^2+bx+c,得
0＝9a＋3b＋c ①
－3＝c ②
又 －b/(2a)＝1 ③
由①②③解得a＝1,b＝－2,c＝－3
所求抛物线的解析式为y＝x^2－2x－3
（2）存在
三角形两边之差小于第三边,在△PBC中,有|PB-PC|＜BC
所以直线BC与对称轴的交点即为所求的P点（此时|PB-PC|有最大值,即线段BC的长）
由B（3,0）和C（0,－3）可求得直线AC的解析式为y＝x－3
又对称轴为x＝1,联立可求得点P的坐标（1,－2）
|PB-PC|的最大值＝|2√2－√2|＝√2
（3）设M（x1,y）,N（x2,y）,所求圆的半径为r
则x2－x1＝2r ④
对称轴为x＝1,x2＋x1＝2 ⑤
由④、⑤得：x2＝r＋1． ⑥
将N（r＋1,y）代入y＝x2－2x－3,得y＝(r＋1)^2－2(r＋1)－3
整理得：y＝r^2－4
由于y＝±r
如图1,当y＞0时,r^2－r－4＝0,
解得r1＝(1＋√17)/2,r2＝(1－√17)/2（负值舍去）
如图2,当y＜0时,r^2＋r－4＝0,
解得r1＝(－1＋√17)/2,r2＝(－1－√17)/2（负值舍去）
所以圆的半径是(1＋√17)/2或(－1＋√17)/2
0＝9a＋3b＋c ①
－3＝c ②
又 －b/(2a)＝1 ③
由①②③解得a＝1,b＝－2,c＝－3
所求抛物线的解析式为y＝x^2－2x－3
（2）存在
三角形两边之差小于第三边,在△PBC中,有|PB-PC|＜BC
所以直线BC与对称轴的交点即为所求的P点（此时|PB-PC|有最大值,即线段BC的长）
由B（3,0）和C（0,－3）可求得直线AC的解析式为y＝x－3
又对称轴为x＝1,联立可求得点P的坐标（1,－2）
|PB-PC|的最大值＝|2√2－√2|＝√2
（3）设M（x1,y）,N（x2,y）,所求圆的半径为r
则x2－x1＝2r ④
对称轴为x＝1,x2＋x1＝2 ⑤
由④、⑤得：x2＝r＋1． ⑥
将N（r＋1,y）代入y＝x2－2x－3,得y＝(r＋1)^2－2(r＋1)－3
整理得：y＝r^2－4
由于y＝±r
如图1,当y＞0时,r^2－r－4＝0,
解得r1＝(1＋√17)/2,r2＝(1－√17)/2（负值舍去）
如图2,当y＜0时,r^2＋r－4＝0,
解得r1＝(－1＋√17)/2,r2＝(－1－√17)/2（负值舍去）
所以圆的半径是(1＋√17)/2或(－1＋√17)/2