已知f(x)=2^x可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和,若关于x的不等式ag(x)+h(2x)>=0对

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 04:43:01

已知f(x)=2^x可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和,若关于x的不等式ag(x)+h(2x)>=0对于x属于[1,2]恒成立,求实数a是最小值

依题意,g(x)+h(x)=2^x.（1）
∵g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x)
∵h(x)是偶函数,∴h(-x)=h(x)
∴g(-x)+h(-x)=h(x)-g(x)=2^(-x).(2)
(1)式和(2)式相加,得2h(x)=2^x+2^(-x),即h(x)=[2^x+2^(-x)]/2
代入（1）得,g(x)=2^x-h(x)=[2^x-2^(-x)]/2
∴ag(x)+h(2x)=a[2^x-2^(-x)]/2+[2^(2x)+2^(-2x)]/2≥0在x∈[1,2]恒成立
∴a[2^x-2^(-x)]+[2^(2x)+2^(-2x)]≥0在x∈[1,2]恒成立
令t=2^x,∴2^(-x)=1/t,当x∈[1,2]时,t∈[2,4]
∴原不等式化为a(t-1/t)+(t^2+1/t^2)≥0在t∈[2,4]上恒成立
由不等式a(t-1/t)+(t^2+1/t^2)≥0,可得a(t-1/t)≥-(t^2+1/t^2)
∵当t∈[2,4]时,t-1/t>0恒成立
∴a≥-(t^2+1/t^2)/(t-1/t)=[-(t^2+1/t^2-2)-2]/(t-1/t)
=[-(t-1/t)^2-2]/(t-1/t)=-(t-1/t)-2/(t-1/t)
即a≥-[(t-1/t)+2/(t-1/t)]在t∈[2,4]上恒成立
即a要大于等于-[(t-1/t)+2/(t-1/t)]在t∈[2,4]上的最大值
令u=t-1/t,求导得u`=1+1/t^2>0恒成立,∴u=t-1/t在t∈[2,4]上单调递增
∴u∈[3/2,15/4]
令f(u)=u+2/u u∈[3/2,15/4]
求导得f`(u)=1-2/u^2>0在u∈[3/2,15/4]上恒成立
∴f(u)在u∈[3/2,15/4]上单调递增
即当u=3/2,f(u)取最小值f(3/2)=17/6
当u=3/2时,可解得t=2（另一根不在t∈[2,4]内故舍去）
∴当t=2时,(t-1/t)+2/(t-1/t)取最小值为17/6
即-[(t-1/t)+2/(t-1/t)]取最大值为-17/6
∴a≥-17/6当t=2,即x=1时取等号
∴a的最小值为-17/6
本题也可以在a(t-1/t)+(t^2+1/t^2)≥0时,通过换元u=t-1/t讲不等式转化为二次不等式u^2+au+2≥0,然后再去讨论.
（1）当对阵轴在（3/2,15/4)内时,有3/2

已知定义在R上的任意函数f（x）=lg（10x+1），x∈R，可以表示成一个奇函数g（x）与偶函数h（x）的和，求g（x 已知f(x)=2^(x+1)是定义在R上的函数,且f(x)可以表示为一个偶函数g(x)和奇函数h(x)之和已知f（x）=2ˆx（x属于R）可以表示为一个奇函数g(x）于一个偶函数h（x)之和已知函数h(x)=2的x次方h（x）=f（x）+g（x）其中f（x）为偶函数g（x）为奇函数求g（x）和f（x）的解析已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=2x，若不等式af（x）+g（2x）≥0对x∈（0 证明：定义在R上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和. 任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,如果f(x)=lg(10^x+1),那么g(x) 证明奇函数和偶函数y=f(x) x属于R求证 H(x)=[f(x)+f(-x)]/2 是偶函数G(x)=[f(x)-f( 已知函数F(X)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d可以分解成一个奇函数f(x)和一个偶函数g(x)之和,且对任意的x 定义在（-∞，+∞）上的任意函数f（x）都可表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）之和.如果f（x）=lg（10x 已知奇函数f(x)和偶函数g(x),且f(x)-g(x)=(1/2)的x次方.求f(x)和g(x)的解析式. 已知奇函数f(x)和偶函数g(x),且f(x)-g(x)=(1/2)的x次方.求f(x)和g(x)的解析式