一道平面几何题目三角形ABC,BC最短,在AB、AC上截取BD、CE,使得BD=CE=BC,连接BE、CD,它们的交点是

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/25 18:43:22

一道平面几何题目
三角形ABC,BC最短,在AB、AC上截取BD、CE,使得BD=CE=BC,连接BE、CD,它们的交点是M,连接DE,设O是三角形ADE的外心,求证OM垂直于BC.

证明:过B作CD的垂线,垂足为P,过C作BE的垂线,垂足为Q,BP与CQ交于H,则CQ和BP是△MBC的高,又是△ABC的角平分线,所以MH⊥BC.设H在BC上的射影为R,则根据圆幂的性质BO²-CO²=BD×BA-CE×CA=a（c-b）,由勾股定理,BH²-CH²=BR²-CR²,由切线长定理,BR²-CR²=[1/2（a+c-b）]²-[1/2（a+b-c）]²=a（c-b）=BO²-CO²,所以根据定差幂线（或等差幂线）定理,OH⊥BC,又MH⊥BC,所以根据公理过平面上一点有且仅有一条直线与已知直线垂足知：M、O、H共线,且与BC垂直.
再问：请问你所用的圆幂的性质和定差幂线定理是在中学哪一个阶段学习的内容。
再答：圆幂在初中竞赛就有，在高中平面几何证明选讲的选修中及联赛中也有。等差幂线属于基本定理，是从线段角度证明垂直的重要定理，应用广泛，可用余弦定理证明。

在三角形ABC的边AB上截取AD=AC,连接CD.说明BD小于BC的理由（填空) 在等腰三角形abc中AB=AC,在AB上截取BD,在AC的延长线上截取CE,使CE=BD,连接DE交BC于F,求证：DF 等腰三角形ABC中AB=AC在AB上截取BD在AC的延长线截取CE,使CE=BD连接DE交BC于F,求证DF=EF 如图,在等腰△ABC中,AB=AC,在AB上截取BD,在AC延长线上截取CE,且使CE=BD,连接DE交BC于F,求证：等腰三角形ABC中,AB=AC.在AB上截取BD,在AC延长线上截取CE,且使CE=BD,连接DE交BC与F,求证DF= 如图在三角形abc中,AB=AC,D、E、F分别在AB、BC、CD上,且BD=CE,BE=CF 在三角形ABC中,AB=AC,D为BC上一点,BF=CD,CE=BD.求证如图在△aABC中,∠ABC=Rt∠,在AB上截取AE=AC,BD=BC,连结CE,CD,求∠DCE 在三角形ABC中,AB=AC,D是AB上任意一点,且BD=CE,连接DE交BC于点F.求证：FD=FE 在三角形ABc中,AB=AC,延长AC到E,在BA上截取BD等于CE,连接DE,交BC于点F.求证：DF=EF. M是三角形ABC中BC边中点,DM垂直EM,D、E分别在AB、AC上,连接DE,求证：DE小于BD=CE 在三角形ABC中,AB=AC,延长BC至D,使CD=BC,CE垂直于BD交AD于E,连接BE交AC于F.求证：AF=FC