已知关于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0. (1)求证:无论m取任何实数时,方程总有实数根; (2)若关于x
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 05:25:45
已知关于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0. (1)求证:无论m取任何实数时,方程总有实数根; (2)若关于x
已知关于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0.
(1)求证:无论m取任何实数时,方程总有实数根;
(2)若关于x的二次函数y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的图象关于y轴对称.
①求这个二次函数的解析式;
②已知一次函数y2=2x-2,证明:在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立;
(3)在(2)的条件下,若二次函数y3=ax2+bx+c的图象经过点(-5,0),且在实数范围内,对于x的同一个值,这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立.求二次函数y3=ax2+bx+c的解析式.
已知关于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0.
(1)求证:无论m取任何实数时,方程总有实数根;
(2)若关于x的二次函数y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的图象关于y轴对称.
①求这个二次函数的解析式;
②已知一次函数y2=2x-2,证明:在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立;
(3)在(2)的条件下,若二次函数y3=ax2+bx+c的图象经过点(-5,0),且在实数范围内,对于x的同一个值,这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立.求二次函数y3=ax2+bx+c的解析式.
(1)分两种情况:
当m=0时,原方程化为3x-3=0,解得x=1,
∴当m=0,原方程有实数根.
当m≠0时,原方程为关于x的一元二次方程,
∵△=[-3(m-1)]2-4m(2m-3)=m2-6m+9=(m-3)2≥0.
∴原方程有两个实数根.
综上所述,m取任何实数时,方程总有实数根.
(2)①∵关于x的二次函数y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的图象关于y轴对称,
∴3(m-1)=0.∴m=1.∴抛物线的解析式为y1=x2-1
②∵y1-y2=x2-1-(2x-2)=(x-1)2≥0,
∴y1≥y2(当且仅当x=1时,等号成立).
(3)由②知,当x=1时,y1=y2=0.∴y1、y2的图象都经过(1,0).
∵对于x的同一个值,y1≥y3≥y2,
∴y3=ax2+bx+c的图象必经过(1,0).
又∵y3=ax2+bx+c经过(-5,0),∴y3=a(x-1)(x+5)=ax2+4ax-5a.
设y=y3-y2=ax2+4ax-5a-(2x-2)=ax2+(4a-2)x+(2-5a).
∵对于x的同一个值,这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立,
∴y3-y2≥0,
∴y=ax2+(4a-2)x+(2-5a)≥0.
又根据y1、y2的图象可得 a>0,
∴y(min)=[4a(2-5a)-(4a-2)]/4a≥0
∴(4a-2)2-4a(2-5a)≤0.∴(3a-1)2≤0.
而(3a-1)2≥0.只有3a-1=0,解得a=1/3.
∴抛物线的解析式为y3=1/3x^2+4/3x-5/3.
当m=0时,原方程化为3x-3=0,解得x=1,
∴当m=0,原方程有实数根.
当m≠0时,原方程为关于x的一元二次方程,
∵△=[-3(m-1)]2-4m(2m-3)=m2-6m+9=(m-3)2≥0.
∴原方程有两个实数根.
综上所述,m取任何实数时,方程总有实数根.
(2)①∵关于x的二次函数y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的图象关于y轴对称,
∴3(m-1)=0.∴m=1.∴抛物线的解析式为y1=x2-1
②∵y1-y2=x2-1-(2x-2)=(x-1)2≥0,
∴y1≥y2(当且仅当x=1时,等号成立).
(3)由②知,当x=1时,y1=y2=0.∴y1、y2的图象都经过(1,0).
∵对于x的同一个值,y1≥y3≥y2,
∴y3=ax2+bx+c的图象必经过(1,0).
又∵y3=ax2+bx+c经过(-5,0),∴y3=a(x-1)(x+5)=ax2+4ax-5a.
设y=y3-y2=ax2+4ax-5a-(2x-2)=ax2+(4a-2)x+(2-5a).
∵对于x的同一个值,这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立,
∴y3-y2≥0,
∴y=ax2+(4a-2)x+(2-5a)≥0.
又根据y1、y2的图象可得 a>0,
∴y(min)=[4a(2-5a)-(4a-2)]/4a≥0
∴(4a-2)2-4a(2-5a)≤0.∴(3a-1)2≤0.
而(3a-1)2≥0.只有3a-1=0,解得a=1/3.
∴抛物线的解析式为y3=1/3x^2+4/3x-5/3.
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是说明关于x的方程x²(m+1)+m=0,无论m取任何实数时,总有实数根 我没抄错题= =
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