一道初三的数学竞赛题D为等边△ABC的外接圆弧BC上的一点,连接AD、BD、CD,⊙I1、I2分别为△ABD、△ACD的
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 12:35:08
一道初三的数学竞赛题
D为等边△ABC的外接圆弧BC上的一点,连接AD、BD、CD,⊙I1、I2分别为△ABD、△ACD的内接圆,MN为两圆的公切线,并交AD于F.求证:
(1)MN=BM+CN
(2)F为AD的中点
(3)I1I2^2=BI1^2+CI2^2
D为等边△ABC的外接圆弧BC上的一点,连接AD、BD、CD,⊙I1、I2分别为△ABD、△ACD的内接圆,MN为两圆的公切线,并交AD于F.求证:
(1)MN=BM+CN
(2)F为AD的中点
(3)I1I2^2=BI1^2+CI2^2
三问可以互相推导,证明尽量点名要点,不细说
证法一:
点的标注如图所示,假设圆I1的半径为R,圆I2的半径为r
1) 显然2PQ=2(DP-DQ)=2(DR-DS)=(BD+AD-AB)-(CD+AD-AC)=BD-CD=(DR-DS)+(BR-CS),于是PQ=DR-DS=BR-CS
2) 又PQ=FQ-FP=FH-FG,和1)的结论比较,有BR-CS=FH-FG
3) 很容易证明△BRI1相似于△I2SC(提示:∠I1BR=(1/2)∠ABD,∠I2CS=(1/2)∠ACD,∠ABD+∠ACD=180°),于是BR*CS=R*r
4) 很容易证明△FGI1相似于△I2HF(提示:∠I1FG=(1/2)∠GFD,∠I2FH=(1/2)∠HFD,∠GFD+∠HFD=180°),于是FH*FG=R*r
5) 比较3)、4)的结论有BR*CS=FH*FG,结合2)的结论可知BR=FH,CS=FG
第一问:
6) 根据5)的显然有MN=BM+CN
第二问:
7) 证明AD=BD+CD.直接的证明是根据托勒密定理:AD*BC=AC*BD+AB*CD,于是AD=BD+CD.简单的证明可以在AD上取点E,使得DE=BD,然后证明△ABE≌△CBD
8) 显然MF+BD=BM+DF,NF+CD=CN+DF,两式相加并利用6)、7)的结论化简有AD=2DF,于是F是AD的中点
第三问:
9) 利用3)、5)的结论,有I1I2^2=(R-r)^2+(FH+FG)^2=(R-r)^2+(BR+CS)^2=(R^2+BR^2)+(r^2+CS^2)+2(BR*CS-R*r)=BI1^2+CI2^2
证法二:
取△BCD的内心I3,显然I3在AD上
1) 根据∠I1BI3=∠I3DI1=30°可知I1、I3、D、B四点共圆,并且BI1=I3I1
2) 根据∠I2CI3=∠I3DI2=30°可知I2、I3、D、C四点共圆,并且CI2=I3I2
3) 根据1)、2)的结论,易知∠I1I3I2=90°,于是I1I2^2=I1I3^2+I2I3^2=BI1^2+CI2^2
第三问得证.然后可以证明第一问(需要利用BR*CS=R*r),然后可以证明第二问
证法一:
点的标注如图所示,假设圆I1的半径为R,圆I2的半径为r
1) 显然2PQ=2(DP-DQ)=2(DR-DS)=(BD+AD-AB)-(CD+AD-AC)=BD-CD=(DR-DS)+(BR-CS),于是PQ=DR-DS=BR-CS
2) 又PQ=FQ-FP=FH-FG,和1)的结论比较,有BR-CS=FH-FG
3) 很容易证明△BRI1相似于△I2SC(提示:∠I1BR=(1/2)∠ABD,∠I2CS=(1/2)∠ACD,∠ABD+∠ACD=180°),于是BR*CS=R*r
4) 很容易证明△FGI1相似于△I2HF(提示:∠I1FG=(1/2)∠GFD,∠I2FH=(1/2)∠HFD,∠GFD+∠HFD=180°),于是FH*FG=R*r
5) 比较3)、4)的结论有BR*CS=FH*FG,结合2)的结论可知BR=FH,CS=FG
第一问:
6) 根据5)的显然有MN=BM+CN
第二问:
7) 证明AD=BD+CD.直接的证明是根据托勒密定理:AD*BC=AC*BD+AB*CD,于是AD=BD+CD.简单的证明可以在AD上取点E,使得DE=BD,然后证明△ABE≌△CBD
8) 显然MF+BD=BM+DF,NF+CD=CN+DF,两式相加并利用6)、7)的结论化简有AD=2DF,于是F是AD的中点
第三问:
9) 利用3)、5)的结论,有I1I2^2=(R-r)^2+(FH+FG)^2=(R-r)^2+(BR+CS)^2=(R^2+BR^2)+(r^2+CS^2)+2(BR*CS-R*r)=BI1^2+CI2^2
证法二:
取△BCD的内心I3,显然I3在AD上
1) 根据∠I1BI3=∠I3DI1=30°可知I1、I3、D、B四点共圆,并且BI1=I3I1
2) 根据∠I2CI3=∠I3DI2=30°可知I2、I3、D、C四点共圆,并且CI2=I3I2
3) 根据1)、2)的结论,易知∠I1I3I2=90°,于是I1I2^2=I1I3^2+I2I3^2=BI1^2+CI2^2
第三问得证.然后可以证明第一问(需要利用BR*CS=R*r),然后可以证明第二问
在Rt三角形ABC中,AD是斜边BC上的高,I1,I2分别是三角形ABD,三角形ACD的内心,求证:B,C,I1,I2四
一道比较难的几何题唉,是道好题,可惜苦苦思考不得其解.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,I1、I2分别为△ABD、△A
如图,△ABC为等边三角形,D,F分别为BC,AB上的一点,且CD=BF,以AD为边作等边△adf.
如图1,已知等边△aBC,D为AC边上的一动点,Cd=nDA,连接线段BD,M为线段BD上一点,
已知等边△ABC,D为AC边上的一动点,CD=nDA,连接线段BD,M为线段BD上一点,∩AMD=60°,AM交BC于点
如图,已知△ABC中,D是AB上的一点,且∠ACD=∠B,AM⊥CD,AN⊥BC,垂足分别为M,N若AD=4,BD=5,
如图所示,D为等边△ABC的AB边上一点,以CD为一边,向上作等边△CDE,连接AE.求证:AE‖BC
初三证明(几何)已知△ABC为等边三角行,D为BC的延长线上的一点,CE平分∠ACD,CE=BD.求证:△ADE为等边三
如图,△ABC为等边三角形,D、F分别为BC、AB上的点,且CD=BF,以AD为边作等边△ADE.
△ABC为等边三角形,D、F分别为BC、AB上的点,且CD=BF,以AD为边作等边△ADE.(1
初三数学【三角形】如图,点C是线段AB上的任意一点,分别以AC,BC为边在直线AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE,A
如图,在等边△ABC中,DE分别为BC,AC上一点,且AE=CD,BE交AD于P,求角BPD的度数