搜搜做题作业网确定a,b的值,使得当x→0时,f(x)=x-(a+bcosx)sinx成为x^5的同价无穷小量
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/29 12:17:16
确定a,b的值,使得当x→0时,f(x)=x-(a+bcosx)sinx成为x^5的同价无穷小量
分别将cosx与sinx在0点泰勒展开.
因为只要考虑x^5的同阶无穷小量,根据原式,我们只需作如下近似展开：
cosx=1-x^2/2+x^4/24+o(x^4)
sinx=x-x^3/6+x^5/120+o(x^5)
代入原式,我们有
f(x)=x-[a+b(1-x^2/2+x^4/24+o(x^4))]*[x-x^3/6+x^5/120+o(x^5)]
=(1-a-b)*x - (a/6 + 2b/3)*x^3 + (a/120 + 2b/15)*x^5 + o(x^5)
所以,1-a-b=0,a/6 + 2b/3=0,a/120 + 2b/15≠0.
解得,a=4/3,b=-1/3.
因为只要考虑x^5的同阶无穷小量,根据原式,我们只需作如下近似展开：
cosx=1-x^2/2+x^4/24+o(x^4)
sinx=x-x^3/6+x^5/120+o(x^5)
代入原式,我们有
f(x)=x-[a+b(1-x^2/2+x^4/24+o(x^4))]*[x-x^3/6+x^5/120+o(x^5)]
=(1-a-b)*x - (a/6 + 2b/3)*x^3 + (a/120 + 2b/15)*x^5 + o(x^5)
所以,1-a-b=0,a/6 + 2b/3=0,a/120 + 2b/15≠0.
解得,a=4/3,b=-1/3.
确定a,b的值,使得当x→0时,f(x)=x-(a+bcosx)sinx成为x^5的同价无穷小量
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