在△ABC中,求tg^2(A/2)+tg^2(B/2)+tg^2(C/2)的最小值
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/14 17:49:30
在△ABC中,求tg^2(A/2)+tg^2(B/2)+tg^2(C/2)的最小值
设y=(tanx)^2,x属于(0,π/2)
y''=2(secx)^4(2-cos2x)>0,
所以y=(tanx)^2,在(0,π/2)上是个下凸函数,
由琴生不等式得到:
y(A/2)+y(B/2)+y(C/2)>=3y[(A/2+B/2+C/2)/3]=3y(π/6)
即
tg^2(A/2)+tg^2(B/2)+tg^2(C/2)>=3[tan(π/6)]^2=1
对琴生不等式的可以用下面的方法
先证明一三角恒等式:
A+B+C=π
→(A+B)/2=π/2-C/2
→[tan(A/2)+tan(B/2)]/[1-tan(A/2)tan(B/2)]=1/tan(C/2)
→tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1.
为方便表达,上式设
m=tan(A/2),n=tan(B/2),p=tan(C/2)
则mn+np+pm=1.
∴m^2+n^2+p^2
=(1/2)·[(m^2+n^2)+(n^2+p^2)+(p^2+m^2)]
≥(1/2)·(2mn+2np+2pm)(均值不等式)
=mn+np+pm
=1,
即[tan(A/2)]^2+[tan(B/2)]^2+[tan(C/2)]^2≥1,
上式取等时,得所求最小值为:1,
此时易得A=B=C=π/3,即ABC为正三角形.
y''=2(secx)^4(2-cos2x)>0,
所以y=(tanx)^2,在(0,π/2)上是个下凸函数,
由琴生不等式得到:
y(A/2)+y(B/2)+y(C/2)>=3y[(A/2+B/2+C/2)/3]=3y(π/6)
即
tg^2(A/2)+tg^2(B/2)+tg^2(C/2)>=3[tan(π/6)]^2=1
对琴生不等式的可以用下面的方法
先证明一三角恒等式:
A+B+C=π
→(A+B)/2=π/2-C/2
→[tan(A/2)+tan(B/2)]/[1-tan(A/2)tan(B/2)]=1/tan(C/2)
→tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1.
为方便表达,上式设
m=tan(A/2),n=tan(B/2),p=tan(C/2)
则mn+np+pm=1.
∴m^2+n^2+p^2
=(1/2)·[(m^2+n^2)+(n^2+p^2)+(p^2+m^2)]
≥(1/2)·(2mn+2np+2pm)(均值不等式)
=mn+np+pm
=1,
即[tan(A/2)]^2+[tan(B/2)]^2+[tan(C/2)]^2≥1,
上式取等时,得所求最小值为:1,
此时易得A=B=C=π/3,即ABC为正三角形.
在△ABC中,求tg^2(A/2)+tg^2(B/2)+tg^2(C/2)的最小值
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