搜搜做题作业网已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/24 13:57:14
已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=
a+1
x+2ax=
2ax2+a+1
x．
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；
当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=
-
a+1
2a．当x∈（0，
-
a+1
2a）时，f′（x）＞0；
x∈（
-
a+1
2a，+∞）时，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，
-
a+1
2a）单调增加，在（
-
a+1
2a，+∞）单调减少．
（Ⅱ）不妨假设x1≤x2．由于a≤-2，故f（x）在（0，+∞）单调递减．
所以|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|等价于f（x1）-f（x2）≥4x2-4x1，
即f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1．
令g（x）=f（x）+4x，则g′(x)=
a+1
x+2ax+4=
2ax2+4x+a+1
x．
于是g′（x）≤
-4x2+4x-1
x=
-(2x-1)2
x≤0．
从而g（x）在（0，+∞）单调减少，故g（x1）≥g（x2），
即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，故对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．
a+1
x+2ax=
2ax2+a+1
x．
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；
当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=
-
a+1
2a．当x∈（0，
-
a+1
2a）时，f′（x）＞0；
x∈（
-
a+1
2a，+∞）时，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，
-
a+1
2a）单调增加，在（
-
a+1
2a，+∞）单调减少．
（Ⅱ）不妨假设x1≤x2．由于a≤-2，故f（x）在（0，+∞）单调递减．
所以|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|等价于f（x1）-f（x2）≥4x2-4x1，
即f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1．
令g（x）=f（x）+4x，则g′(x)=
a+1
x+2ax+4=
2ax2+4x+a+1
x．
于是g′（x）≤
-4x2+4x-1
x=
-(2x-1)2
x≤0．
从而g（x）在（0，+∞）单调减少，故g（x1）≥g（x2），
即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，故对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．
已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．
已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1
已知函数f（x）=12ax2+（1-a）x-1-lnx，a∈R．
已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx．
已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x．
已知函数f（x）=x-ax2-lnx（a＞0）．
已知函数f（x）=ax2+bx-lnx，a，b∈R．
已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx，a∈R
已知函数f（x）=lnx+ax2-2bx（a，b∈R），g（x）=2x−2x+1-clnx．
已知函数f(x)＝12ax2−(a+1)x+lnx．
已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx
（2012•蓝山县模拟）已知函数f(x)＝lnx−12ax2+bx（a＞0），且f′（1）=0．