等差数列及等比数列的性质,及他们求和公式的性质

等差数列及等比数列的性质,及他们求和公式的性质

等差数列
通项公式
　　an=a1+(n-1)d 　　an=Sn-S(n-1) (n≥2) 　　an=kn+b(k,b为常数)
前n项和
　　倒序相加法推导前n项和公式：　　Sn=a1+a2+a3······+an 　　=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ① 　　Sn=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ② 　　由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)（n个）=n(a1+an) 　　固 Sn=n(a1+an)/2 　　等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：　　Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2 　　Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n
性质
　　且任意两项am,an的关系为：　　an=am+(n-m)d 　　它可以看作等差数列广义的通项公式.　　从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：　　a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n} 　　若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有 　　am+an=ap+aq 　　S2n-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1 　　Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…成等差数列,等等.　　和=（首项+末项）×项数÷2 　　项数=（末项-首项）÷公差+1 　　首项=2和÷项数-末项 　　末项=2和÷项数-首项 　　设a1,a2,a3为等差数列.则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3,即2a2=a1+a3.
等比数列
通项公式
　　an=a1q^(n-1) 　　an=Sn-S(n-1) (n≥2)
前n项和
　　当q≠1时,等比数列的前n项和的公式为 　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) 　　当q=1时,等比数列的前n项和的公式为 　　Sn=na1
性质
　　任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m) 　　（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n} 　　（4）等比中项：aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项.　　记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1 　　另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.　　性质：　　①若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq； 　　②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.　　“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.　　(5) 等比数列前n项之和Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 　　在等比数列中,首项a1与公比q都不为零.　　注意：上述公式中a^n表示A的n次方.