如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆⊙O1和⊙O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 02:00:03

如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆⊙O₁和⊙O₂相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两

坐标轴相切，⊙O₁与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O₂与x轴，y轴分别切于点R，点H．
（1）求两圆的圆心O₁，O₂所在直线的解析式；
（2）求两圆的圆心O₁，O₂之间的距离d；
（3）令四边形PO₁QO₂的面积为S₁，四边形RMO₁O₂的面积为S₂．
试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为

如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆⊙O1和⊙O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1

（1）由题意可知O₁（m，m），O₂（n，n），
设过点O₁，O₂的直线解析式为y=kx+b，则有：

mk+b＝m
nk+b＝n（0＜m＜n），解得

k＝1
b＝0，
∴所求直线的解析式为：y=x．

（2）由相交两圆的性质，可知P、Q点关于O₁O₂对称．
∵P（4，1），直线O₁O₂解析式为y=x，∴Q（1，4）．
如解答图1，连接O₁Q．
∵Q（1，4），O₁（m，m），根据两点间距离公式得到：
O₁Q=
(m−1)2+(m−4)2=
2m2−10m+17
又O₁Q为小圆半径，即QO₁=m，
∴
2m2−10m+17=m，化简得：m²-10m+17=0 ①
如解答图1，连接O₂Q，同理可得：n²-10n+17=0 ②
由①，②式可知，m、n是一元二次方程x²-10x+17=0 ③的两个根，
解③得：x=5±2
2，∵0＜m＜n，∴m=5-2
2，n=5+2
2．
∵O₁（m，m），O₂（n，n），
∴d=O₁O₂=
(m−n)2+(m−n)2=8．
（3）假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax²+bx+c，

因为开口向下，所以a＜0．
如解答图2，连接PQ．
由相交两圆性质可知，PQ⊥O₁O₂．
∵P（4，1），Q（1，4），
∴PQ=
(4−1)2+(1−4)2=3
2，又O₁O₂=8，
∴S₁=
1
2PQ•O₁O₂=
1
2×3
2×8=12
2；
又S₂=
1
2（O₂R+O₁M）•MR=
1
2（n+m）（n-m）=20
2；
∴
|s1−s2|

2d=
|12
2−20
2|

2×8=1，即抛物线在x轴上截得的线段长为1．
∵抛物线过点P（4，1），Q（1，4），
∴

16a+4b+c＝1
a+b+c＝4，解得

b＝−(5a+1)
c＝5+4a，
∴抛物线解析式为：y=ax²-（5a+1）x+5+4a，
令y=0，则有：ax²-（5a+1）x+5+4a=0，
设两根为x₁，x₂，则有：x₁+x₂=
5a+1
a，x₁x₂=

如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆⊙O1和⊙O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1 （2008•赤峰）如图1，两半径为r的等圆⊙O1和⊙O2相交于M，N两点，且⊙O2过点O1．过M点作直线AB垂直于MN，如图1，两半径为r的等圆⊙O1和⊙O2相交于M，N两点，且⊙O2过点O1．过M点作直线AB垂直于MN，分别交⊙O1和⊙O 已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和1cm,且两圆外切,作一个半径为4cm的⊙P.与⊙O1,⊙O2都相切的⊙P,通过画如图,等圆o1和圆o2相交于A,B两点,圆o2经过圆o1的圆心o1,两圆的连心线交圆o1于M,交A,B于N,连接MB(1 （2013•高淳县一模）如图，半径为2的两个等圆⊙O1与⊙O2外切于点P，过O1作⊙O2的两条切线，切点分别为A、B，与如图，⊙O1、⊙O2外切于点P，它们的半径分别为4cm、1cm．直线l分别与⊙O1、⊙O2相切于A、B，且与直线OlO2 已知两圆⊙o1与⊙o2相交与A,B两点,且AB=6,⊙O1的半径为4cm,⊙o2的半径为5cm,求⊙o1与⊙o2的圆心距（2013•娄底）如图，⊙O1，⊙O2、相交于A、B两点，两圆半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线O1O2的长为10c （2014•沈阳一模）如图，已知圆O1与圆O2外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A、B两点，AC是圆（2014?沈阳一模）如图，已知圆O1与圆O2外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A、B两点，已知:如图,⊙O1和⊙O2相交于点A,B,P为BA延长线上任意一点,且PC,PD与⊙O1和⊙O2分别切于C,D两点.求证