搜搜做题作业网请教一道关于相似矩阵的线性代数题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/05 16:36:08
请教一道关于相似矩阵的线性代数题
α是n维列向量,α^Tα=b,(b是不为0的常数),A=E+kαα^T,(k≠0),证明：A能相似于对角阵.
说明：α^T表示α的转置矩阵.我今年大一刚开始学线代,很多概念不太理解,请高手尽量说的祥细一点,
α是n维列向量,α^Tα=b,(b是不为0的常数),A=E+kαα^T,(k≠0),证明：A能相似于对角阵.
说明：α^T表示α的转置矩阵.我今年大一刚开始学线代,很多概念不太理解,请高手尽量说的祥细一点,
Aα=（E+kαα^T）α=α+kαα^Tα
=α+kα（α^Tα）=α+kα（b）=（1+kb)α
α是属于特征值1+kb的特征向量.
αα^T的秩为1,所以αα^TX=0的基础解系含有n-1个向量β1,β2,.,βn-1.
Aβi=（E+kαα^T）βi=βi (i=1,2,...,n-1)
βi是属于特征值1的特征向量.(i=1,2,...,n-1)
A有n个线性无关的特征向量.
A能相似于对角阵.
=α+kα（α^Tα）=α+kα（b）=（1+kb)α
α是属于特征值1+kb的特征向量.
αα^T的秩为1,所以αα^TX=0的基础解系含有n-1个向量β1,β2,.,βn-1.
Aβi=（E+kαα^T）βi=βi (i=1,2,...,n-1)
βi是属于特征值1的特征向量.(i=1,2,...,n-1)
A有n个线性无关的特征向量.
A能相似于对角阵.