已知函数f（x）=（x3+3x2+ax+b）e-x．

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/30 22:24:45

已知函数f（x）=（x³+3x²+ax+b）e^-x．
（1）如a=b=-3，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（-∞，α），（2，β）单调增加，在（α，2），（β，+∞）单调减少，证明：β-α>6．

（Ⅰ）当a=b=-3时，f（x）=（x³+3x²-3x-3）e^-x，
故f′（x）=-（x³+3x²-3x-3）e^-x+（3x²+6x-3）e^-x=-e^-x（x^-3-9x）=-x（x-3）（x+3）e^-x
当x<-3或0<x<3时，f′（x）>0；
当-3<x<0或x>3时，f′（x）<0．
从而f（x）在（-∞，-3），（0，3）单调增加，在（-3，0），（3，+∞）单调减少；
（Ⅱ）f′（x）=-（x³+3x²+ax+b）e^-x+（3x²+6x+a）e^-x=-e^-x[x³+（a-6）x+b-a]．
由条件得：f′（2）=0，即2³+2（a-6）+b-a=0，故b=4-a，
从而f′（x）=-e^-x[x³+（a-6）x+4-2a]．
因为f′（α）=f′（β）=0，
所以x³+（a-6）x+4-2a=（x-2）（x-α）（x-β）=（x-2）（x²-（α+β）x+αβ）．
将右边展开，与左边比较系数得，α+β=-2，αβ=a-2．
故β−α＝
(β+α)2−4αβ＝
12−4a．，
又（β-2）（α-2）<0，即αβ-2（α+β）+4<0．由此可得a<-6．
于是β-α>6．

已知函数f（x）=（x3+3x2+ax+b）e-x．已知函数f（x）=x2-ax+b．已知函数f（x）=x3-ax-1．已知函数f （x）=x3+32（1-a）x2-3ax+1，a＞0．已知函数f（x）=x3-x2+x2 已知函数f（x）=x3-3x2+ax+b在x=-1处的切线与x轴平行已知x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e(3-x) 已知函数f（x）=x3+2x2-ax．对于任意实数x恒有f′（x）≥2x2+2x-4 设函数f（x）=6x3+3（a+2）x2+2ax．已知函数f（x）=x2+ax+b 已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+a．设函数f（x）=x3-x2-3．