已知Am×n是一个实矩阵,求证ATA为正定阵-搜答案-搜搜做题作业网

n=1.Aξ=λξ.设n≤k时命题成立：A^mξ=λ^mξ.（m=1,2,……,k）看n=k+1.A^（k+1）ξ=A（A^kξ）=A（λ^kξ）=λ^k（Aξ）=λ^k（λξ）=λ^（k+1）ξ.即

过B作BD‖PQ,过C作CE‖PQ,分别交直线AM于D、E则由∠BDM＝∠CEM,∠BMD＝∠CME,BM＝CM得△BDM≌△CEM（AAS）所以MD＝ME因为PQ‖BD,PQ‖CE所以AB/AP＝A

AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵|ABO||OEn|A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有|ABA|这一过程的实质是：矩阵左乘以可逆矩阵|EA||0En|矩阵的秩不发生变化|0E|右边两块矩阵分乘-

原式右乘B的逆得A+B=-A^2*(B的逆)原式写成A(A+B)=-B^2……（1）两边同时左乘-B^(-2)得A+B可逆,其逆为-B^(-2)A

因为(A+A^T)^T=A^T+(A^T)^T=A^T+A=A+A^T所以A+A^T是对称矩阵

对于n阶矩阵A而言,一个数λ乘A是λ乘A中的每个元素.从行列式而言,可以从一行（或一列）提取公因子到行列式外面计算,这样从每一行都提出公因子λ后,一共提出了n个λ相乘.

用定义很明显A^TA半正定,但是不可能证明正定,除非A满秩且m

首先要知道对称矩阵和反对称矩阵的定义,对称举证,就是A的转置等于A；反对称矩阵就是B的转置等于-B,由于证明过程要用到高等数学证明符号,我把证明过程的截图发给你吧,证明过程的截屏你可以放大看：

λ是矩阵A的一个特征值,则存在非零向量X,AX=λX,故(1/λ)X=A^-1X,即A^-1X=(1/λ)X,1/λ是n阶矩阵A-1的一个特征值

秩(ATA)≤秩(A)≤m,而矩阵ATA是n×n矩阵,n＞m,所以det（AT*A）=0如果A是一个2*3的矩阵,det（AT*A）=0成立

(A)=n-2.

用反证法：假设n不是质数,则n肯定可以分解为两个大于1的数相乘设n=a×b（a,b都是大于1的正整数）则2的n次方减1,就是2的ab次方减1设m=2的a次方,因为a>1,所以m>22的n次方减1,可变

首先知道一个定理：A正定存在可逆矩阵C,使得A=C*C的转置接下来证明你的题：因为A正定所以存在可逆矩阵C,使得A=C*C的转置设C的逆的转置=D则D可逆,且A的逆=D*D的转置（对上式两边取逆就得到

证明:(=>)因为AB=0,所以B的列向量都是AX=0的解.又因为B≠0,所以AX=0有非零解.所以r(A)

结论不对,实对称矩阵不一定是正定矩阵反例:A=-100-1A是实对称矩阵,但A不是正定的.

证明：连接AN∵DN为AM中垂线∴AN=MN又∵∠AMN=∠MAC+∠ACM∴∠NAM=∠MAB+∠NAB∵∠MAC=∠MAB∠AMN=∠NAM∴∠ACM=∠NAB（等量代换）又∵∠BNA=∠ANC（

取可逆阵C使得A=CC^T,那么A-B正定等价于I-C^{-1}BC^{-T}正定,再分析后者的特征值即可.更省事的做法是B^{-1}-A^{-1}=A^{-1}(A-B)A^{-1}+A^{-1}(

延长BC和AN交于一点E,

证明：以下A'表示A的转置,(-1)^n表示-1的n次方.因为A是反对称矩阵,所以A'=-A.两边取行列式得|A'|=|-A|.由于A的行列式和A的转置的行列式相同,所以|A'|=|A|.另一方面,|

证明:设A=(aij)是n阶方阵.令k=(a11+a22+...+ann)/n则(a11+a22+...+ann)-kn=0.令B=A-kE则tr(B)=tr(A)-tr(kE)=(a11+a22+.